¿Qué polígonos regulares se pueden construir sobre los puntos de una retícula ortogonal regular?

Question

1. Además de un cuadrado, ¿qué polígonos regulares pueden ser construidos de manera que los puntos de la poligonal de la mentira en los puntos de regular, plana, rejilla ortogonal?

2. Además de un triángulo y un hexágono, ¿qué polígonos regulares pueden ser construidos de manera que los puntos de la poligonal de la mentira en los puntos de regular, plano, malla triangular?

3. ¿Existen reglas para la construcción de polígonos regulares en la cuadrada o triangular plana cuadrículas?

4. Si los puntos de construir el polígono no está restringido a la red de puntos sólo, pero también puede incluir puntos en las intersecciones de las líneas rectas trazadas entre los puntos, ¿qué otros polígonos regulares se pueden crear en la triangular o retículas ortogonales?

(No, esto no es la tarea. Yo era de los garabatos en la plaza de papel cuadriculado, durante una reunión y se encontró que no podía dibujar un octágono regular referencia sólo a los puntos de la cuadrícula.)

Answer 1

Damos respuesta a la Parte a $4$ para un cuadrado de la cuadrícula. Asumimos que esta es la rejilla de puntos con coordenadas enteras.

Entonces cualquier línea entre los puntos de cuadrícula tiene racional de los coeficientes. Por lo tanto, si dos líneas se encuentran, se unen en un punto que ha racional de coordenadas.

Supongamos que hemos de extraer de un número finito de líneas distintas. Deje $N$ ser el mínimo común múltiplo de los denominadores de las coordenadas de los puntos de intersección de estas líneas

Ahora imagina la construcción de una figura que utiliza algunos de estos puntos de intersección (incluyendo posiblemente original de los puntos de cuadrícula). Si tenemos la escala de esta figura por el factor de $N$, se han reducido a tiene coordenadas enteras. Por lo tanto, hasta similitud, no más figuras se pueden extraer utilizando puntos de intersección que se pueden extraer utilizando original de los puntos de cuadrícula. En particular, los puntos de intersección que no ayuda en la elaboración de un octágono regular.