$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\ln{n})^2+n}$

Question

Las siguientes series convergen o divergen %#% $ de #% sé que $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\ln{n})^2+n}$ diverge.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\ln{n})^2}$ domina la serie en cuestión y converge. ¿Qué comparación puedo usar para entender esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\frac{1}{n\log^2(n)+n}\le \frac{1}{n\log^2(n)}$$

y

$$\int_2^\infty \frac{1}{x\log^2(x)}\,dx=\frac{1}{\log(2)}$$

Answer 2

Prueba de condensación de Cauchy el da que la serie es convergente es convergente iff $$ \sum_{m\geq 0}\frac{1}{1+m^2}=\frac{1+\pi\coth \pi}{2} $ $.