¿Están la teoría de categorías y la teoría de conjuntos en igualdad de condiciones?

Question

La teoría de conjuntos se considera en general el fundamento del resto de las matemáticas. También lo es la teoría de las categorías. Mi pregunta es: ¿son dos candidatas alternativas y rivales para el papel de una teoría fundacional de las matemáticas o hay un sentido en el que una es más fundamental que la otra? La "fundamentalidad" se puede cifrar en términos de poder expresivo. Así que otra variante de la misma pregunta: ¿Comparten las teorías de categorías y de conjuntos el mismo poder expresivo? Si no es así, ¿cuál es más expresiva?

Answer 1

Creo que este tipo de preguntas las hacen a menudo personas que no tienen una idea clara/coherente de lo que son las fundaciones y del propósito que tienen. Esto no pretende ser una especie de insulto. Creo que muchos, probablemente la mayoría, de los matemáticos se encuentran en esta situación 1 . En concreto, creo que si se pregunta a la mayoría de los matemáticos qué "fundamentos" utilizan, dirán que la "teoría de conjuntos". Si se les pregunta que teoría de conjuntos, dirían ZFC. Si se les preguntara entonces cuáles son los axiomas de la ZFC, tendrían problemas para enumerarlos por su nombre, y mucho menos para dar explícitamente los axiomas. Como golpe de gracia, si les preguntas por qué eligieron ZFC en lugar de, digamos, Teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck (TG), o más generalmente la teoría de conjuntos frente a la teoría de categorías o la teoría de tipos, quedará claro que no lo hizo tomar esa decisión (por ejemplo, porque ni siquiera son conscientes de cuáles son las alternativas). No han hecho cualquier elección. De hecho, creo que la mayoría dirá directamente que se les dijo que la teoría de conjuntos y, en concreto, la ZFC puede servir de base a las matemáticas, y simplemente dan por sentado que todo lo que hacen puede formularse en ZFC y no se preocupan por otra cosa.

La razón por la que pueden hacerlo es que la mayoría de los teoremas no dependen significativamente de la elección de los fundamentos. O, dicho de otro modo, la mayoría de los teoremas de interés para los matemáticos pueden demostrarse incluso con fundamentos bastante débiles. Esto se puede ver en el ejercicio de Matemáticas inversas que trata de averiguar qué axiomas utilizan realmente los teoremas típicos.

Volviendo a su pregunta más concretamente. Hay muchas cuestiones, algunas de las cuales se aluden en los párrafos anteriores. En primer lugar, que ¿Te refieres a la teoría de conjuntos? Hay varios sistemas con nombre, así como muchos, muchos más que se podrían crear. Lo mismo ocurre con la teoría de las categorías, aunque aquí no hay demasiados sistemas con nombre. La mayoría de los categoristas (por no hablar de los matemáticos en general) se conforman con decir que la teoría de categorías se basa en alguna teoría de conjuntos, por ejemplo Mac Lane en "Categories for the Working Mathematician" y Grothendieck . Para sus propósitos, como para la mayoría de los demás matemáticos, no es importante cuáles son los fundamentos realmente. A grandes rasgos, van a suponer que las categorías que necesitan existen, y tomarán cualquier fundamento que las establezca. Dicho esto, la elección de los fundamentos realmente importa aquí. La categoría de conjuntos (ZFC) no existe en ZFC. Típicamente, para formular la teoría de categorías tal como se utiliza en algo como ZFC se requiere añadir axiomáticamente cardinales inaccesibles o incluso Universos de Grothendieck . Por otra parte, la forma en que se utiliza típicamente la teoría de categorías ya presupone la teoría de conjuntos. Si se quiere un sistema fundacional a la altura de la teoría de conjuntos, se puede utilizar la Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos ( ETCS ). ETCS es equivalente a la teoría de conjuntos de Zermelo limitada ( BZ ) que es más débil que ZFC. Realmente, la mayoría de la gente cuando habla de que la teoría de categorías sirve como "fundamento" para las matemáticas, suele decir cosas como " fundamentos prácticos " y quieren decir que algo como la teoría de categorías puede servir de marco para organizar las matemáticas. La teoría de conjuntos es sólo un peldaño en este marco no es un sistema competitivo desde esta perspectiva. A menudo, "fundamentos categóricos" significa realmente "fundamentos topos teóricos" o conceptos estrechamente relacionados, por ejemplo, a través de la topos gratuitos . Llevado más lejos, se puede obtener cierta "competencia" entre la teoría de conjuntos y, en realidad, la teoría de tipos, que es su propio enfoque de los fundamentos, pero es íntimamente relacionada con la teoría de las categorías . Hay aspectos del razonamiento típico de la teoría de conjuntos que son un poco anatema para la teoría de tipos y la teoría de categorías.

La siguiente cuestión es que hablas de "poder expresivo" pero no lo defines realmente. Esto no es necesariamente tan sencillo como podría pensarse. Por ejemplo, la teoría de tipos y la teoría de conjuntos son cosas diferentes. La teoría de tipos es más bien una extensión de la lógica, mientras que la teoría de conjuntos suele presentarse como una teoría de primer orden dentro de la lógica clásica de primer orden. Esto es menos problemático en el caso de la teoría de categorías, donde, por ejemplo, ETCS es también una teoría de primer orden de la lógica clásica de primer orden. No obstante, continuemos con la suposición de una noción viable de "poder expresivo". Tu pregunta da la impresión de que crees que la "potencia expresiva" da una ordenación total de las teorías. Puede ser fácilmente que ninguna sea "más expresiva", es decir, que dos teorías sean incomparables. Lo más pertinente desde un punto de vista filosófico perspectiva, todo el enfoque sugerido es un retroceso. Desde una perspectiva filosófica, se decide qué son los "objetos matemáticos" o las "matemáticas", y luego se encuentran/fabrican unos fundamentos que reafirmen esa comprensión. Los fundamentos menos "expresivos" son entonces excesivamente conservadores, mientras que los más "expresivos" hacen suposiciones injustificadas (y los fundamentos incomparables son motivo de guerra santa). Por ejemplo, consideremos a los constructivistas. Tienen una visión de lo que significa "hacer matemáticas" que les lleva a rechazar la ley del medio excluido. Las lógicas clásicas que aceptan la ley del medio excluido son por tanto trivialmente más "expresivas", en el sentido de que se pueden demostrar más teoremas, pero esto es una defecto desde una perspectiva constructivista. Algunos constructivistas van más allá y asumen axiomas anticlásicos que llevan a fundamentos incomparables. Personalmente, creo que los matemáticos se pierden muchas matemáticas valor al trabajar constantemente en fundaciones demasiado poderosas. En cualquier caso, el teorema de Incompletitud de Gödel garantiza que siempre hay un fundamento "más expresivo". Hay que trazar una línea en algún lugar.

Por último, me pregunto qué piensa hacer con la respuesta a su pregunta. Digamos que he dicho que "la teoría de conjuntos es más "fundamental" que la teoría de categorías". ¿Y ahora qué? ¿No vas a aprender entonces la teoría de categorías? Eso sería tan absurdo como decidir no aprender geometría diferencial porque la teoría de conjuntos es "más fundamental". Mi impresión es que hoy en día la mayoría de los matemáticos tienen una actitud cosmopolita hacia los fundamentos (normalmente por apatía, pero incluso cuando se restringe a los que sí se preocupan). Hay muchas fundaciones, y es interesante ver cómo se relacionan y cómo ve cada una el paisaje matemático. Pasar de un enfoque a otro puede ser muy útil. Por ejemplo, considere Geometría diferencial sintética (SDG). Gran parte de su desarrollo estuvo motivado por el pensamiento teórico de las categorías (específicamente la teoría de los topos). Usando la herramienta de los lenguajes internos, podemos hacer una teoría de tipos constructiva en la que podemos hacer geometría diferencial de una manera que se parece mucho a las matemáticas "normales" (sólo tenemos que tener cuidado de usar el razonamiento constructivo) pero donde existen cosas "mágicas" y extremadamente útiles. Por ejemplo, hay un tipo, $D$ , que es análoga a $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2=0\}$ pero, en esta teoría de tipos, es distinta de $\{0\}$ (que es un resultado anticlásico). Con $D$ , un vector tangente en una variedad $M$ es sólo una función $D\to M$ por lo que el haz tangente de $M$ es sólo el tipo de funciones, $M^D$ . Este enfoque puede dramáticamente simplificar la demostración de algunos resultados. Básicamente, cosas que son intuiciones en la geometría diferencial clásica son teoremas en la SDG. 2 Por ejemplo, los elementos de $D$ se comportan como "infinitesimales" hasta cierto punto, por ejemplo, la derivada de $f$ es definido para ser la única función $f'$ tal que $\forall d\in D.f(x+d)=f(x)+f'(x)d$ . Por supuesto, querremos conectar esto con la geometría diferencial clásica, lo que podemos hacer con la noción de modelo bien adaptado. El resultado final es que podemos demostrar muchos (pero no todos) los resultados de la geometría diferencial clásica utilizando la teoría de categorías como puente hacia una teoría de tipos constructiva en la que estos resultados son mucho más fáciles de demostrar y, a través de un "metateorema", nos aseguramos de que existe una prueba "clásica" del resultado, pero no necesitamos encontrarla y probablemente sea mucho más fea. Hacer cosas como ésta es un uso mucho más valioso de los "fundamentos" que tratar de ordenarlos en términos de "fundamentalidad".

1 Los que no lo son son probablemente lógicos, teóricos de conjuntos o de tipos, o al menos han ido bastante más allá de una introducción a estos campos.

2 A sucede algo similar con la topología sintética y la teoría de tipos de homotopía.