Transformación del triplete de antiquarks SU(3)

Question

Estoy leyendo un texto de física de partículas bastante elemental, Física de partículas moderna por Thomson. Se mantiene alejado de las pesadas cosas de la teoría de grupos. Deriva la ley de transformación para un doblete de antiquarks SU(2) y muestra que es posible construir un $\bar 2$ que se transforma exactamente como el $2$ . Luego, unas páginas más tarde, dice que no hay manera de hacer un $\bar{3}$ transformarse como un $3$ en SU(3). La explicación es que simplemente no se puede hacer. Obviamente, eso no es muy satisfactorio, pero imagino que la verdadera explicación no es adecuada para un texto de grado.

Entonces, ¿cuál es la verdadera razón por la que no podemos crear un triplete de antiquarks que se transforme como el triplete de quarks, es decir, si $q$ es el $3$ y transformaciones como $$q\longrightarrow q'=\exp(\tfrac{1}{2}i\vec\alpha\cdot\vec\lambda)q$$ entonces por qué no podemos encontrar un $\bar 3$ $\bar q$ tal que $$\bar q\longrightarrow \bar q'=\exp(\tfrac{1}{2}i\vec\alpha\cdot\vec\lambda)\bar q$$

Answer 1

La transformación de un campo de quarks bajo un grupo requiere que se elija una representación de ese grupo. Sucede que la representación fundamental y la anti fundamental (barra) de $SU(N)$ con $N>2$ son inequivalentes en el sentido de que no hay ninguna matriz no singular independiente de la representación elegida que nos permita hacer un cambio de base y pasar a una representación a otra. Es decir, si $\lambda$ es una matriz de la fundamental y $\bar{\lambda}$ es de anti fundamental no hay matriz $M$ que hacen : $M\lambda M^{-1}=\bar{\lambda}$ . Para $SU(2)$ sucede que hay esa matriz $M$ y es el tensor de Levicivita en $2$ Así que no hay manera de crear un triplete de antiquarks que se transforme como el triplete de quarks porque no hay manera (en $SU(3)$ para pasar de la representación fundamental a la anti fundamental.

Answer 2

Puede que no sea la respuesta que esperas, pero si los antiquarks estuvieran en la representación 3, los mesones formados por un quark y un antiquark tendrían un color global. Además, habríamos encontrado estados "bariones" hechos de $qq\bar{q}$ ou $q\bar{q}\bar{q}$ . Eso estaría en contradicción con los experimentos.