¿Cómo puede una variable aleatoria tener varianza aleatoria?

Question

Esto parece contra-intuitivo para mí, ya que la varianza es una diferencia de expectativas y afaik, incondicional expectativa es un número real.

Al parecer, $X_t$ donde $dX_t = Y_t dW_t$ donde $Y_t$ independiente es un movimiento Browniano a $W_t$, ha aleatoria varianza.

La resolución de la DEE da $X_t = X_0 + \int_0^t Y_s dW_s$

Computación en el primer y segundo momentos de dar:

$E[X_t] = E[X_0] + E[\int_0^t Y_s dW_s]$

$E[X_t^2] = E[X_0^2] + 2E[X_0 \int_0^t Y_s dW_s] + E[\int_0^t Y_s^2 ds]$ por Itō isometría

$ = E[X_0^2] + 2E[X_0 \int_0^t Y_s dW_s] + \int_0^t E[Y_s^2] ds$ por el teorema de Tonelli

Supongo que $E[\int_0^t Y_s dW_s]$ o $E[X_0 \int_0^t Y_s dW_s]$ es al azar? Por qué? Parece que $\int_0^t Y_s dW_s$ es una variable aleatoria con una única media dada por $E[\int_0^t Y_s dW_s]$.

Lo que no estoy de llegar aquí?

Answer 1

No estoy muy familiarizado con Browniano movimientos, pero creo que el problema es básicamente el mismo que en el caso de los individuales de las variables aleatorias como en muaddib la respuesta: "en el proceso $X$ donde $X_0$, $X_1$ son iid positivo de las variables aleatorias y $X_2$ es una variable aleatoria normal con varianza $X_0+X_1$ y la media de cero". Aquí $X_2$ se podría decir que "el azar de la varianza", es decir, en el sentido de que la varianza condicional $\operatorname{Var}[X_2\mid X_0+X_1]=X_0+X_1$ es una variable aleatoria, la cual puede ser expresada como "la variación de $X_2$ depende del valor de $X_0+X_1$". Sin embargo, usted, por supuesto, derecho que $X_2$ es un estándar de la variable aleatoria con un estándar de no-aleatorio de la varianza, la cual de acuerdo a la ley de la varianza total está dada por

\begin{align} \operatorname{Var}[X_2]&=E_{X_0+X_1}(\operatorname{Var}[X_2\mid X_0+X_1])+\operatorname{Var}_{X_0+X_1}[E(X_2\mid X_0+X_1)]\\ &=E_{X_0+X_1}(X_0+X_1)+\operatorname{Var}_{X_0+X_1}\cdot\,0\\ &=E(X_0+X_1)\;. \end{align}