Distribución de dos esquemas generadores de variables aleatorias.

Question

Objetivo: Generar cinco números de 0 a 1 con suma 1.

Método 1: Generar cuatro números en el rango $(0,1)$ (distribución uniforme) a los recortes del intervalo, es decir, dicen que los cuatro números aleatorios generados es $a_1<a_2<a_3<a_4$, a continuación, los cinco números aleatorios se $a_1, a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3,1-a_4$

Método 2: Generar cinco números en el rango $(0, n)$ (distribución uniforme), donde $n$ es arbitrario número mayor que cero. Y luego normalizar la suma sea 1, es decir, dividir todos los números por su suma.

Mi pregunta es, el de la distribución de los dos métodos equivalentes? Es cualquiera de los dos corresponsales a algunos conocidos de las distribuciones?

Answer 1

Vamos a jugar a este juego en un caso más sencillo. Deje $X_1$ $X_2$ dos independientes y $U(0,1)$ distribuido de variables aleatorias.

PARA EL MÉTODO 1

Generar variables aleatorias $A_1$ $A_2$ tal que $A_1+A_2=1$ la siguiente manera:

$$A_1=\begin{cases}X_1&\text{ if }& X_1<X_2\\ X_2&\text{ if }& X_2\le X_1\end{casos} \text{ y vamos a }\ A_2=1-A_1$$

Vamos a ver la distribución de $A_1$. Que es calcular los siguientes probabilidad

$$P(A_1<x)=P(A_1=X_1\cap X_1<x)+P(A_1=X_2\cap X_2<x)=$$ $$=P(X_1<X_2\cap X_1<x)+P(X_2\le X_1\cap X_2<x).$$

Así,

$$P(X_1<X_2\cap X_1<x)=\int_0^xP(u<X_2)\ du=\int_0^x1-u\ du=x-\frac12x^2$$

Debido a la simetría razones

$$P(X_2\ge X_1\cap X_2<x)=x-\frac12x^2.$$

Por lo tanto, el cdf y el pdf de $A_1$

$$2x-x^2\ \text{ and } 2-2x$$

si $0\le x\le1$.

Que es el pdf de el primer elemento de la orden de estadística de dos independientes distribuidos de manera uniforme variables aleatorias.

Si tenemos cinco variables, a continuación, el pdf de $A_1$ puede ser calculado así. No será de distribución uniforme.

Answer 2

No, incluso las distribuciones marginales no son los mismos. Considerar para la simplicidad $n=2$. Método 1 genera valores $a_1$, $1-a_1$ ambos se distribuyen de manera Uniforme en $(0,\,1)$.

Para el Método 2, vamos a encontrar la distribución de $\frac{X}{X+Y}$ donde $X$ $Y$ son independientes de r.v.'s distribuidos de manera Uniforme en $(0,\,1)$. No tiene sentido tomar la distribución uniforme en el intervalo de $(0,\,n)$ como la longitud del segmento que aquí es el parámetro de escala sólo, y la relación no depende de ella.

$$ P\left(\dfrac{X}{X+Y}<t\right) = P\left(X<\frac{t}{1-t}Y\right). $$

Uno puede calcular esta probabilidad por separado para $0<t\leq 1/2$ $1/2<t<1$ en la unidad de la plaza. La respuesta es $$ P\left(\dfrac{X}{X+Y}<t\right)=\begin{cases}\dfrac{t}{2(1-t)}, & 0<t\leq 1/2\cr 1-\dfrac{1-t}{2t}, & 1/2<t<1\end{casos} $$ Para la segunda variable, $\dfrac{Y}{X+Y}$, marginal CDF es el mismo.

Estas funciones son muy diferentes de Uniforme CDF en el Método 1.

Para el Método 1 se puede escribir de distribución conjunta. En el 2º volumen de W. Feller Una Introducción a la Teoría de la Probabilidad y Sus Aplicaciones, uno puede encontrar el resultado de B.De Finetti, 1964. Véase el ejercicio del 23 al 1er Capítulo.

Para $x_1\geq 0$, ..., $x_n\geq 0$ $$ P(a_1>x_1, a_2-a_1>x_2, \ldots, 1-a_{n-1}>x_n)=(1-x_1-\ldots-x_n)^{n-1}_+ $$ donde $(x)_+=\max(x,0)$. Aquí $a_1\leq a_2\leq\ldots \leq a_{n-1}$ son de estadísticas de orden independientes de los números aleatorios Uniformes.

No sé cómo la distribución conjunta se ve como en el Método 2. La duda que parece simple.

Si tomamos para el Método 2 independiente de r.v. $X_1,\ldots,X_n$ a partir de la misma distribución Exponencial, obtenemos la misma distribución conjunta de $X_i/(X_1+\ldots+X_n)$, $i=1,\ldots,n$ como en el Método 1.

Este resultado se discute en la 2ª Vol. de W. Feller del libro, en el apartado 3 del Capítulo III.