Deje $X_1,...,X_n$ han densidad:
$$f(x;\theta) = \begin{cases} 1 & \text{if } \theta-1/2<x< \theta+1/2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos}$$
Deje $Y_1=\min \lbrace X_1,\ldots,X_n \rbrace$ $Y_n=\max \lbrace X_1,\ldots,X_n\rbrace$
Mostrar que cualquier estadística $u(X_1,\ldots,X_n)$ que satisface $Y_n-1/2<u<Y_1+1/2$ es una estimación de máxima verosimilitud de $\theta$.
Mi intento:
Primera reescritura de la densidad:
$$f(x;\theta) = \begin{cases} 1 &\text{if } -1/2<x- \theta<1/2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos}$$
Bien, por lo que, obviamente, necesita usar el hecho de que $Y_n-1/2<u<Y_1+1/2$, empecé usando el MLE encontrar el método:
$$L(\theta)=\prod_i(x-\theta)$$
$$\log L(\theta)=\log\prod_i(x_i-\theta)=\sum_i \log(x_i- \theta)$$
$$(\log L(\theta))'=\sum_i \frac 1 {x_i- \theta} =0$$
Y yo estoy atrapado aquí..creo que necesito usar el dado aquí, pero no estoy seguro de cómo proceder.
Cualquier ayuda sería muy apreciada:) Gracias!