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Búsqueda de MLE de $f(x;\theta) =1$ si $\theta-1/2<x< \theta+1/2$

Deje $X_1,...,X_n$ han densidad:

$$f(x;\theta) = \begin{cases} 1 & \text{if } \theta-1/2<x< \theta+1/2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos}$$

Deje $Y_1=\min \lbrace X_1,\ldots,X_n \rbrace$ $Y_n=\max \lbrace X_1,\ldots,X_n\rbrace$

Mostrar que cualquier estadística $u(X_1,\ldots,X_n)$ que satisface $Y_n-1/2<u<Y_1+1/2$ es una estimación de máxima verosimilitud de $\theta$.

Mi intento:

Primera reescritura de la densidad:

$$f(x;\theta) = \begin{cases} 1 &\text{if } -1/2<x- \theta<1/2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos}$$

Bien, por lo que, obviamente, necesita usar el hecho de que $Y_n-1/2<u<Y_1+1/2$, empecé usando el MLE encontrar el método:

$$L(\theta)=\prod_i(x-\theta)$$

$$\log L(\theta)=\log\prod_i(x_i-\theta)=\sum_i \log(x_i- \theta)$$

$$(\log L(\theta))'=\sum_i \frac 1 {x_i- \theta} =0$$

Y yo estoy atrapado aquí..creo que necesito usar el dado aquí, pero no estoy seguro de cómo proceder.

Cualquier ayuda sería muy apreciada:) Gracias!

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mookid Puntos 23569

Aquí, la densidad es $f\theta(x) = 1{|x-\theta|\le \frac 12}$.

La probabilidad es un producto de tal esta función evaluado en realizaciones, por lo que es 0 o 1.

Ahora el conjunto de la ley es el conjunto $$ {\theta \mid \forall i\, f_\theta (X_i) = 1} = {\theta\mid \forall i\, X_i - \frac 12 \le \theta \le X_i + \frac 12 } = [\max X_i-\frac 12, \min X_i + \frac 12] $$ como quería.

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Michael Hardy Puntos 128804

Los trozos de la naturaleza de la densidad, y por lo tanto de la probabilidad, es la esencia.

$$ f_{X_1}(x\mid \theta) = 1\text{ si } \theta\frac12 < x < \theta+\frac 12. $$ $$ f_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots,x_n) = 1\text{ si para todos }i\in\{1,\ldots,n\}\text{ hemos }\theta\frac12<x_i<\theta+\frac 12. $$ Las palabras después de "si" son equivalentes a $$ \theta \frac 1 2 < \min\{X_1,\ldots,X_n\} \text{ y } \max\{X_1,\ldots,X_n\} < \theta+\frac 1 2, $$ y de ahí a $$ \max\frac12 < \theta < \min+\frac12. $$ Así $$ L(\theta) = \begin{cases} 1 & \text{if }\max-\frac 12<\theta <\min+\frac 1 2, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{casos} $$ Esto siempre es $0$ o $1$. Esto alcanza su máximo en aquellos puntos donde es igual a $1$.

El $\text{"}(x_i-\theta)\text{''}$ es totalmente fuera de lugar: ni la densidad ni la probabilidad es igual a $x_i-\theta$ o a un producto de aquellos.

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