Si , , Y , Entonces

Question

Me topé con este problema y me gustaría ver si estos argumentos son correctos.

Dado $f(0)=f'(0)=1$ $f''(x)>0$ todos los $x\geq0$,$f(2)>2$.
Suponga $f(x)$ es el doble diferenciable para $x\geq0$. (El problema no estado mucho más, así que estoy asumiendo otras condiciones tales como las $f$ es un valor real de una variable de la función implícita).
ARGUMENTO 1.

Desde $f''(x)>0$, $f'(x)$ es cada vez mayor. Por lo tanto
$\qquad \qquad f'(x)\geq f'(0)=1$ $\qquad$para todos $x\geq 0$.$\quad$ Entonces

$$\int_{0}^{2} f'(x) dx \geq \int_{0}^{2} dx$$ $$f(2)-f(0) \geq 2$$

$$f(2) \geq 2+f(0)=3$$ Desde $f(2) \geq 3$, se deduce que el $f(2)$ es estrictamente mayor que 2.

ARGUMENTO 2

Por el valor medio teorema, existe un $c\in (0,2)$ tal que
$$\frac{f(2)-f(0)}{2} =f'(c) \geq1$$ Entonces $$ f(2)-1 \geq 2 $$ $$f(2)\geq 3$$ Y concluye de la misma manera.
Algunos comentarios o notas acerca de la especificación de las cosas que me deja implícita o claro sería bienvenido.
NOTA: tengo la intención de aplicar este ejercicio de mitad de período de prueba para los estudiantes de primer año de las matemáticas importantes, así que me encantaría ser lo más claro y específico que podría ser.

Answer 1

$f$ Es una función convexa tenemos $f(x)\geq x+1$.

Answer 2

Ambos argumentos son correctos. Como primer paso se utilizó esa $f''(x) > 0$ implica que el $f'(x)$ es el aumento, que es una consecuencia de la media-teorema del valor.

Como segundo paso se utiliza el "segundo teorema fundamental del cálculo": $$ f(2) - f(0) = \int_0^2 f'(t) \, dt \ge (2 - 0)\cdot 1 $$ o la media-teorema del valor: $$ \frac{f(2)-f(0)}{2-0} =f'(c) \ge 1 \text{ para algunos $c$$0$$2$} $$ El resultado es el mismo, porque los $f'$ es continua. (En general, el segundo enfoque es más versátil, ya que sólo requiere de $f$ a ser diferenciable, pero no se que $f'$ es integrable.)

Si se conoce la "fórmula de Taylor con resto", entonces usted puede proceder en un solo paso: $$ f(x) = f(0) + f'(x)(x-0) + \frac{f"(c)}{2!} (x-0)^2 $$ para algunos $c$$0$$x$. En su caso $$ f(x) = 1 + x + \frac{f"(c)}{2!} x^2 > 1 + x $$ para $x > 0$, y por lo tanto $f(2) > 3$.