Usted puede "representar" los números complejos con matrices de 2x2, con el isomorfismo entre los campos $(\Bbb C,+,\times)$ y $(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix},+,\times)$: $$f:a+bi\mapsto\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$$ with $a,b\in\Bbb R$. Additionally, a complex function can be represented by $f(x+iy) = u +iv$, or that $f$ is composed of the two functions $u(x,y)$ and $v(x,y)$. The differentiable function $f$ has the property that its jacobian matrix $\begin{pmatrix} \partial u/\partial x & \partial v/\partial x \\ \partial u/\partial y & \partial v/\partial y \end{pmatrix}$ must be of the form$$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$$ Es sólo una coincidencia, o podemos generalizar esto? Por ejemplo, una división compleja número $a+jb$ está representado por $\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$. Sería esta matriz también tiene que ver con las derivadas parciales de una división compleja función? (A pesar de que no tienen la más mínima idea de lo que puede significar para tomar la derivada de una cosa.)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para elaborar John Hughes comentario, recordemos que una función $(u,v):\mathbb R^2\mapsto\mathbb R^2$ es diferenciable en a $\mathbf z\in\mathbb R^2$ si existe una matriz $\mathbf J$ tal que $$ \lim_{\|\mathbf h\|\to0}\frac{\left\| \pmatrix{u(\mathbf z+\mathbf h)\\ v(\mathbf z+\mathbf h)} -\pmatrix{u(\mathbf z)\\ v(\mathbf z)} -\mathbf J\mathbf h\right\|}{\|\mathbf h\|}=0.\la etiqueta{1} $$ Y una función de $f=u+iv:\mathbb C\to\mathbb C$ es diferenciable en a $z\in\mathbb C$ si existe un número complejo $J$ tal que $$ \lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)-Jh}{h}=0.\la etiqueta{2} $$ Ahora defina $M(x+iy)=\pmatrix{x&-y\\ y&x}$$\mathbf e_1=\pmatrix{1\\ 0}$. A continuación, $M(z_1z_2)\equiv M(z_1)M(z_2)$ y todos los vectores $\pmatrix{p\\ q}\in\mathbb R^2$ puede ser escrito como $M(p+iq)\mathbf e_1$. Por lo tanto, si $f$ es diferenciable en a $z$ y podemos reescribir $(2)$ en forma de $(1)$, debemos tener $$ \mathbf J\mathbf h=M(Jh)\mathbf e_1=M(J)M(h)\mathbf e_1=M(J)\mathbf h. $$ para cada $\mathbf h\in\mathbb R^2$. En consecuencia,$\mathbf J=M(J)$.
