Es realmente cierto que no hay ninguna infinito de representaciones irreducibles de un grupo finito?
Yo estaba pensando mucho acerca de esta pregunta pero no he encontrado este tipo de representaciones.
Respuesta
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Deje $A$ ser finito dimensionales álgebra (por ejemplo, $A=kG$ el grupo de álgebra de un grupo finito que es el caso de que usted está preguntando acerca de).
Deje $L$ ser una representación irreducible, entonces, no es un surjective mapa de $A\to L$ de la representación (sólo el mapa de $1$ a un elemento no nulo). En particular, $L$ es finito dimensionales.
La pregunta acerca de indecomposables es más difícil y fue contestada por Auslander en [Auslander: teoría de representaciones de álgebras de Artin II. Comm. Alg. 1974] y [Auslander: ampliación de los módulos a través de álgebras de Artin. En: Álgebra, la Topología y la categoría de Teoría, Academic Press 1976]
Recordemos que un número finito de dimensiones álgebra es la limitada representación de tipo si hay sólo un número finito de indecomposable módulos hasta el isomorfismo.
Como Auslander ha demostrado, si un álgebra es de representación de tipo finito, entonces cualquier indecomposable módulo es finito dimensionales y, a la inversa, si un número finito de dimensiones álgebra no es de representación de tipo finito, entonces existe un infinito dimensional indecomposable módulo.
En el caso de que el grupo de álgebra (o más general de un bloque de un grupo de álgebra). $kG$ (o un bloque de $B$) es de representación de tipo finito si y sólo si la característica $p$ del campo de tierra $k$ es cero o no divide al orden del grupo (en el que caso de que el grupo de álgebra es semisimple y irreductible y indecomposable es el mismo) o la Sylow $p$-subgrupos cíclicos (o en el caso de un bloque de $B$, el defecto del grupo de $B$ es cíclico).
Para un ejemplo claro, vamos a $G=\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$ $k$ ser un campo de característica $2$. A continuación,$kG\cong k[x,y]/(x^2,y^2)$, una explícita isomorfismo es dada por el envío de la norma generadores $(1,0)$ $(0,1)$ de los Klein cuatro grupo a$x+1$$y+1$. Este es un especial biserial álgebra. Para aquellos, algunos de infinitas dimensiones representaciones de la realidad puede ser construido, ver por ejemplo [Krause: Una nota sobre la infinita cadena de módulos]. Tomar, por ejemplo, el espacio vectorial $\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}} kv_i$ y definir una acción a través de $x$ envío de $v_{2i}$ $v_{2i-1}$ $y$envío de $v_{2i}$ $v_{2i+1}$y todas las otras acciones que se están llevando a cero. Este es indecomposable. La media infinitas versiones del módulo son también indecomposable.
