$SL_2 R$ ¿Invariante de Casson?

Question

Invariante de Casson es un invariante de una homología 3-esfera, obtenido por ``contando'' representaciones del grupo fundamental en $SU(2)$ . Me preguntaba si existe un invariante análogo contando representaciones en $SL(2,R)$ ? Curtis tiene una invariante representaciones de recuento en $SL(2,C)$ . Estos invariantes se obtienen tomando un desdoblamiento de Heegaard de la variedad, y considerando la intersección de la representación de los dos cuerpos manejables en la variedad de representación de la división de Heegaard. de Heegaard. Casson tiene que perturbar las variedades resultantes para hacerlas transversales, y luego contar las intersecciones. Curtis cuenta sólo los puntos finitos de intersección utilizando la geometría algebraica para resolver cualquier singularidad, e ignorando cualquier componentes de dimensión superior de la intersección. A continuación, ambos tienen que demostrar que este recuento es invariante bajo la estabilización de las escisiones de Heegaard, y por lo tanto un invariante de la variedad. Me preguntaba si podría combinar los dos enfoques para obtener un invariante análoga en el caso de $SL(2,R)$ ¿representaciones? Uno desecharía componentes componentes de intersección de las $SL(2,R)$ variedades de las dos asas, y perturbar cerca de las intersecciones aisladas para obtener un recuento de puntos de intersección.

Si esto funciona, ¿qué tal hacer una teoría de Floer análoga, contando discos holomorfos entre puntos de intersección finitos?

No he hecho una búsqueda bibliográfica, pero sospecho que es una pregunta abierta.

Answer 1

1. Boyer y Nicas definieron un invariante de Casson SL(2,C). La idea es ignorar los componentes no compactos de la intersección y se obtiene un invariante bien definido. Creo que su prueba se traslada literalmente a SL(2,R)

2. Dennis Johnson definió un invariante geométrico de Casson. Nunca lo publicó, pero es la suma sobre las representaciones irreducibles de la torsión de Reidemeister del complejo complejo correspondiente a la cohomología de la variedad M con coeficientes en ad de la representación cuando está definida, y cero en caso contrario. Lo llamó invariante geométrico de Casson porque llegó a la torsión calculando el "ángulo" entre las variedades de caracteres de dos cuerpos de asa de una división de Heegaard de la variedad, dentro de la variedad de caracteres de la superficie de división.