Numeración superior de grupos de ramificación de grupos de Galois absolutos para extensiones totalmente ramificadas

Question

Supongamos que $K'/K$ es una extensión totalmente ramificada de $p$ -campos de grado de adicción $e.$ A papel (p.9, línea 15) que estoy leyendo parece utilizar la siguiente fórmula para la numeración superior en los grupos de galois absolutos $$G_{K'}^{eu}=G_{K}^{u}$$ para $u>0.$

Para este hecho citan la Proposición 15, Capítulo IV de los Campos Locales de Serre, que dice que la función Herbrand $\varphi_{F/L}$ y su inversa $\psi_{F/L}$ satisfacen las fórmulas de transitividad $$\varphi_{F/L}=\varphi_{L'/L}\circ \varphi_{F/L'}\text{ and }\psi_{F/L}=\psi_{F/L'}\circ\psi_{L'/F}$$ para una extensión de campos $F/ L' / L.$

¿Cómo se deduce la fórmula anterior de esta proposición? ¿O la fórmula no es verdadera en general (muy posiblemente me estoy perdiendo alguna sutileza que hace que esta fórmula funcione en el papel)?

Answer 1

La ampliación $K'\supset K$ es dócilmente ramificado en el papel que estás leyendo. Pero en el caso de la ramificación domesticada, todo se concentra en el origen del gráfico de Herbrand. Es decir, $\varphi^{K'}_K(x)=x/e$ para $x\ge0$ . Todo se deduce de eso.