Adecuado subgrupo de $\mathbb{Q}^{+}$ con un límite, índice de

Question

Hay un no-trivial de los subgrupos $H$$\mathbb{Q^{+}}$, de tal manera que $|\mathbb{Q^{+}} : H|$ es finito? Por supuesto, $|H| = \aleph_0$, pero yo no podía probar que tal se $H$ no existe (creo que no existe, al menos).

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongo que el grupo de operación $\mathbb{Q}^+$ es la multiplicación (y que el conjunto a es el conjunto de los números racionales positivos). A continuación, consideremos el subgrupo $H$ que consta de los números racionales cuyos numeradores y denominadores, cuando se escribe en términos mínimos, primer factorizations que contienen sólo potencias de 2. A continuación,$|\mathbb{Q}^+ : H| = 2$.

Answer 2

Puede utilizar la descomposición en factores primos para mostrar que el grupo multiplicativo ${\bf Q}^+$ es en el hecho de isomorfo a ${\bf Z}^{\oplus\aleph_0}$, una suma directa de countably infinitamente muchas copias de enteros (aditivo).

Desde que deberían ser fáciles de encontrar subgrupos de arbitrario contables índice.

Como una nota del lado, ${\bf Q}$ con la adición es mucho más complicado, por lo que puedo contar.