Demuestre que la secuencia $x_n=\Big[\frac32x_{n+1}\Big]$ , $x_1=2$ contiene un conjunto infinito de números Impares y un conjunto infinito de números pares.

Question

Me resulta difícil probar esto

Sea $x_n$ sea una secuencia tal que $x_{n+1}=\Big[\frac32x_n\Big]$ para $n\gt1$ donde $[x]$ denota la función entera más próxima y $x_1=2$ .

Demuestre que esta secuencia tiene un conjunto infinito de números Impares y un conjunto infinito de números pares.

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Creo que la mejor manera de abordarlo es por contradicción. Es decir, supongamos que la secuencia contiene un número finito de probabilidades, que sea $$S=\{x_{k_1},x_{k_2},\cdots x_{k_m}\}$$ Así, todos $x_{k_{m+i}}$ los términos deben ser números pares.

Pero $x_{k_{m+1}}=2l$ para $l\in\Bbb{Z}$ Así que $$x_{k_{m+2}}=\Big[\frac322l\Big]=\Big[3l\Big]$$

Y como $[3l]$ está en $\Bbb{Z}$ para todos $l\in\Bbb{Z}$ se deduce que todos $x_{k_j}$ será de la forma $[3t]$ , $t\in \Bbb{Z}$ .

Si podemos demostrar que existe un número infinito de probabilidades de esta forma, creo que habremos terminado. Pero eso no es difícil de demostrar, ya que $\forall t$ impar, $[3t]$ también es impar.

Sin embargo, tengo serias dudas sobre el rigor de esta medida, me temo que me estoy perdiendo algo crucial. Cualquier idea será bienvenida.

Answer 1

El argumento que has iniciado es un buen planteamiento. Lo único que falta es derivar la contradicción deseada.

Siguiendo el mismo camino que en su argumento suponemos que sólo hay un número finito de términos Impares. Esto implica que hay un número entero $N$ tal que $x_{n}$ es uniforme para todos $n\geq N$ . Desde $x_N$ es incluso podemos escribirlo en el formulario $x_N = 2^m\cdot k$ donde $k$ es impar y $m\geq 1$ . La recursión nos da ahora que (para $i\leq m$ )

$$x_{N+i} = 3^i\cdot 2^{m-i}\cdot k$$

pero entonces $x_{N+m} = 3^m\cdot k$ que es impar. Esto contradice la suposición de que existe un número finito de términos impar.

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Del mismo modo, si sólo hay un número finito de términos pares, entonces hay un $N$ tal que $x_n$ es impar para todos $n\geq N$ . Desde $x_N$ es impar podemos escribir $x_N$ en el formulario $x_N = 2^m\cdot k+1$ donde $k$ es impar y $m\geq 1$ . Pero entonces

$$x_{N+i} = 3^i\cdot 2^{m-i}\cdot k + 1$$ para que $x_{N+m} = 3^m\cdot k+1$ que es par. De nuevo esto nos da una contradicción y podemos concluir que la secuencia tiene que contener un número infinito de términos de ambas paridades.

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Tenga en cuenta que el argumento anterior sólo funciona cuando $x_1>1$ . Si $x_1 = 1$ entonces $x_n=1$ para todos $n$ por lo que no habrá un número infinito de términos pares (el argumento anterior falla ya que $m=0$ en este caso).

Answer 2

Si $x_n=2m$ entonces $x_{n+1}=3m$ y si $x_n=2n+1$ entonces $x_{n+1}=\left\lfloor \frac{3}{2}(2m+1)\right\rfloor=3m+1$ .

Supongamos que $x_n=2m_1+1$ .

Entonces $x_{n+1}=3m_1+1$ .

Supongamos que $x_{n+1}=3m_1+1$ es impar.

Entonces $m_1$ es par y $x_n=4m_2+1,\,x_{n+1}=6m_2+1,\,x_{n+2}=9m_2+1$ .

Supongamos que $x_{n+2}$ es impar.

Entonces $m_2$ es par y $x_n=8m_3+1,\,x_{n+1}=12m_3+1,\,x_{n+2}=18m_3+1,\,x_{n+3}=27m_3+1$ .

Si $x_{n+3}$ es impar entonces $m_3$ es par y $x_n=16m_4+1$ etc.

Así que vemos que se puede hacer un argumento inductivo para el caso de que si hay una cadena de $k$ términos consecutivos siendo impar, comenzando por $x_n$ entonces debe darse el caso de que $2^k$ divide $x_n-1$ . Por lo tanto, no puede haber una secuencia infinita de términos Impares consecutivos.

Un argumento inductivo similar puede demostrar que si existe una cadena de $k$ términos pares consecutivos que comienzan por $x_n=2m_1$ entonces $2^k$ divide $x_n$ por lo que no puede haber una secuencia infinita de términos pares consecutivos.

Puesto que cada subsecuencia consecutiva de términos pares debe ser interrumpida por un término impar y cada secuencia consecutiva de términos impar debe ser interrumpida por un término par, debe haber un número infinito de términos impar y en número infinito de términos pares.