Creo que lo normal es colocar el operador entre el conjugado de la función de onda y la propia función de onda. Por ejemplo,
$$\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi * \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\Psi dx$$
¿Está mal hacer esto?
$$\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}|\Psi|^2 dx$$
Así que creo que lo normal es colocar el operador entre el conjugado de la función de onda y la propia función de onda. Por ejemplo,
$$\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi * \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\Psi dx$$
Sí, eso es correcto, y
¿Está mal hacer esto?
$$\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}|\Psi|^2 dx$$
Sí, eso está mal.
Una forma fácil de ver por qué esto último debe equivocarse es que la integral de una derivada exacta siempre es factible:
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d}{dx}|\Psi|^2 dx=\left.|\Psi(x)|^2\right|_{-\infty}^{\infty}=0,$$ para todos $\Psi$ lo cual no puede ser correcto, entre otras cosas porque requieres $⟨p⟩$ depender de $\Psi$ de alguna manera significativa.
Ya veo. También veo por qué funciona en el problema de tarea que estoy haciendo. Estaba encontrando $\langle x\rangle$ para un oscilador armónico simple. Escribí $x$ en términos de los operadores de elevación y descenso, pero estos operadores, cuando actúan sobre una función de onda no requieren derivadas. $a_+ \Psi_n = \sqrt{n+1}\Psi_{n+1}$ . Como no tienen derivados, ¿puedo utilizar la forma incorrecta?
No, no puedes. Los operadores que estás utilizando son operadores lineales que actúan sobre espacios de Hilbert $T:\text{dom}\, T \subset \mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$ . Lo que quieres calcular es el producto interior $\langle \psi, T\psi\rangle$ que figura en el $L^2(\Bbb{R})$ espacio por $\int_\Bbb{R} \psi(x)^* (T \psi)(x) dx$ . Puede darse el caso de que $|\psi(x)|^2$ ni siquiera está en $L^2(\Bbb{R})$ por lo que la acción del operador puede incluso no tener sentido.
La 2ª vía
$$\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}|\Psi|^2 dx$$
producirá un resultado complejo en general (en el ejemplo anterior será simplemente cero), al no tener una medida física análoga. El operador funciona en algunos vector (o bien $\Psi$ o $\bar{\Psi}$ ), mientras que el $|\Psi|^2$ es un número real simple.
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