Supongamos que R y S son relaciones transitivas en A . Demostrar que si S∘R⊆R∘S entonces R∘S es transitivo.
En primer lugar, me pregunto si mi prueba es correcta. En segundo lugar, tengo mucha curiosidad por saber si hay alguna forma más elegante de demostrar esta afirmación. Me ha llevado mucho tiempo jugar con diferentes posibilidades para encontrar este argumento. ¿Hay algún atajo que se me haya escapado, o algún teorema relacionado con las relaciones que la gente considere útil al intentar demostrar afirmaciones como la anterior? Aquí está mi prueba:
Supongamos que S∘R⊆R∘S . Sea x,y,z∈A . Supongamos que (x,y)∈R∘S y (y,z)∈R∘S . Desde (x,y)∈R∘S podemos elegir algunos a∈A tal que (x,a)∈S y (a,y)∈R . Del mismo modo, ya que (y,z)∈R∘S podemos elegir algunos b∈B tal que (y,b)∈S y (b,z)∈R . Tenemos (a,y)∈R y (y,b)∈S Así que (a,b)∈S∘R . Desde S∘R⊆R∘S , (a,b)∈R∘S , por lo que podemos elegir algunos c∈A tal que (a,c)∈S y (c,b)∈R . Tenemos (x,a)∈S y (a,c)∈S Así que, como S es transitivo, (x,c)∈S . También tenemos (c,b)∈R y (b,z)∈R Así que, como R es transitivo, (c,z)∈R . Por lo tanto, (x,c)∈S y (c,z)∈R Así que (x,z)∈R∘S .
