Resolución de la EDP mediante la transformada de Laplace

Question

Utiliza las transformadas de Laplace para resolver el problema de valor límite $$Y_{xx}(x,t)-2Y_{tx}(x,t)+Y_{tt}(x,t)=0, \quad 0<x<1, t>0$$ $$Y(x,0)=Y_t(x,0)=0, \quad 0<x<1$$ $$Y(0,t)=0, \ Y(t,1)=F(t), \ t>0.$$

Se supone que debo resolver la EDP utilizando la transformada de Laplace. Sé cómo resolver tales EDP como la ecuación de onda utilizando Laplace, pero no sé cómo resolverlo para este problema donde hay un parcial mixto de $\frac{\partial^2}{\partial x\partial t}$ . He intentado buscar en internet pero no he encontrado nada.

Lo que tengo hasta ahora es $$\frac{d^2U}{dx^2}-2s\frac{\partial U}{\partial x}=-s^2U$$ $$U(0,s)=0,\quad U(1,s)=F(s)$$ .

Answer 1

Definir

$$y(x,s) = \int_0^{\infty} dt \, Y(x,t) \, e^{-s t}$$

Entonces, integrando por partes:

$$\int_0^{\infty} dt \, Y_t(x,t) \, e^{-s t} = -Y(x,0) + s y(x,s)$$

$$\int_0^{\infty} dt \, Y_{tt}(x,t) \, e^{-s t} = -Y_t(x,0) + s Y(x,0) + s^2 y(x,s)$$

A continuación, utilizando las condiciones iniciales $Y(x,0)=Y_y(x,0)=0$ la EDP se convierte en la siguiente EDO:

$$y''-2 s y' + s^2 y = 0$$

donde $y(0,s)=0$ y $y(1,s)=f(s)$ donde el primo representa la derivada con respecto a $x$ y donde

$$f(s) = \int_0^{\infty} dt \, F(t) \, e^{-s t} $$

La solución general de la EDO es (no la derivaré aquí)

$$y(x,s) = (A + B x) \, e^{s x}$$

Utilizando las condiciones de contorno, podemos encontrar $A$ y $B$ y por tanto la LT de la solución de la EDP:

$$y(x,s) = x \, f(s) \, e^{-s (1-x)} $$

Podemos encontrar la LT inversa por convolución, ya que conocemos las LT individuales. La ILT de $f(s)$ es obviamente $F(t)$ por definición, y el ILT de $e^{-s (1-x)}$ es $\delta(t-(1-x))$ . Por lo tanto, la ILT, y la solución de la ecuación, es

$$y(x,t) = x \int_0^t dt' \, F(t') \delta(t-t'-(1-x)) = x F(t-(1-x)) \theta(t-(1-x))$$

donde $\theta$ es la función escalonada de Heaviside, que es necesaria porque la contribución a la integral del $\delta$ función para $t < 1-x$ es cero (es decir, $t' \gt 0$ en la integral).