la zona que consume una parte de una elipse en un cuadrado de una cuadrícula discreta

Question

Pensar sobre una rejilla discreta de la unidad 1, lo que significa que la tabla consta de infinito número de plazas cuya área es de 1. Puede asignar una coordenada para cada plaza y uno de ellos tiene las coordenadas (0, 0). Las demás plazas será asignado a un coordinar de una manera análoga a la de 2 dimensiones sistema de coordenadas cartesianas. También se puede dibujar 0-dimensional puntos en esta cuadrícula y los puntos que se tienen las coordenadas de los números reales. Un punto con coordenadas enteras en el centro exacto de un cuadrado. Así que un punto (1.5, 3) en el centro del borde entre el cuadrado (1, 3) y (2, 3).

En esta cuadrícula, queremos dibujar una elipse cuyo centro es un punto ($x$, $y$) y cuya horizontal y vertical de la radio es $a$ $b$ respectivamente. Algunas plazas en la red va a estar completamente lleno de la elipse, algunos otros serán parcialmente lleno, y la izquierda que va a estar vacía. Nos deja elegir una arbitraria de la plaza ($p$, $q$), y queremos saber el área que la elipse se consume en esta plaza. Esta sería una función de 6 entradas: $x$, $y$ para la coordenada del centro de la elipse; $a$, $b$ para la horizontal y vertical de la radio de la elipse; y $p$, $q$ para la coordenada de la plaza de nuestro interés.

Me pueden ayudar a llevar a cabo una expresión de esta función? Puede ser en una sola línea primaria expresión algebraica, o sería algún tipo de algoritmo, tal vez?

Answer 1

El área puede ser calculada usando la metodología en esta respuesta que calcular el área de intersección entre un cuadrado y un círculo.

Deje $\mathcal{E}$ ser un eje alineado a la elipse centrada en $(x,y)$ con semi-ejes $a$$b$. Deje $\mathcal{S}$ ser la unidad cuadrados centrada en $(p,q)$. Definir

$$\begin{cases} u_\pm &= \frac{p-x \pm \frac12}{a}\\ v_\pm &= \frac{q-y \pm \frac12}{b} \end{casos} \quad\text{ y }\quad h(u) = \begin{cases} \pi,& u \in [1,\infty)\\ \pi - \cos^{-1}(u) + u\sqrt{1-u^2},& u \in (-1,1)\\ 0,& u \in (-\infty, -1] \end{casos}$$ El área de $\mathcal{E}\cap\mathcal{S}$ está dado por la fórmula $$\verb/Area/(\mathcal{E}\cap\mathcal{S}) = \pi ab\left[\Delta(u_+,v_+)-\Delta(u_+,v_-)-\Delta(u_-,v_+)+\Delta(u_-,v_-)\right]$$

donde $\Delta(u,v)$ puede ser calculada utilizando la siguiente tabla $$\begin{array}{rcc} \hline \verb/Condition/ && \Delta(u,v)\\ \hline u^2 + v^2 \le 1 && \frac{h(u) + h(v)}{2} - \frac{\pi}{4} + uv\\ u \le -1 \vee v \le -1 && 0\\ u \ge 1 \wedge v \ge 1 && \pi\\ u \ge 1 && h(v)\\ v \ge 1 && h(u)\\ u \ge 0 \wedge v \ge 0 && h(u) + h(v) - \pi\\ u \ge 0 \wedge v \le 0 && h(v)\\ u \le 0 \wedge v \ge 0 && h(u)\\ \verb/otherwise/ && 0\\ \hline \end{array}$$ Una mirada a las condiciones en esta tabla uno por uno. Si $(u,v)$ cumplir una condición, a continuación, $\Delta(u,v)$ será dada por la expresión a la derecha. Si no, pasar a la condición.

La integridad, la siguiente es una imagen de la mencionada respuesta que se ilustran en la que el rango de $(u,v)$, se debe usar la fórmula para $\Delta(u,v)$.