$(p-2)!-1 \neq p^k$ para cualquier$k\in \mathbb{N}$,$p$ es un primo.

Question

$(p-2)!-1 \neq p^k$ para cualquier$k\in \mathbb{N}$,$p>5$,$p$ es un primo.

¿Cómo resolver esto?

Answer 1

Si$p > 5$ es primo, entonces al menos uno de los siguientes es verdadero:

1. $p-1$ es divisible por$q = 4 \le p-2$.
2. $p-1$ es divisible por un primo impar$q \le p-2$.

En cualquier caso, tenemos$(p-2)! \equiv 0 \mod q$ y$p \equiv 1 \mod q$. Esto implica que$$0 \equiv (p-2)! = p^k + 1 \equiv 1^k + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod q,$ $ que es una contradicción.

Answer 2

He quitado mi respuesta anterior debido a que hubo un error y se convirtió en inútil, pero aún así supongo que podría intentarlo, asumiendo el "frente" de su propuesta:

$$\exists k\in\Bbb{N},\space (p-2)!-1=p^k$$

Si llega a algo imposible, esto significa que el principio de la asunción fue mal.

De este modo se obtiene el resultado (que es lo contrario de su (mal) supuesto):

$$\forall k\in\Bbb{N},\space (p-2)!-1\neq p^k$$ (for prime $p>5$)

Esto proviene del hecho de que si la proposición $\urcorner A$ conduce a algo mal uso de razonamiento válido, a continuación, $\urcorner A$ es en sí mismo malo y lo $A$ es cierto.