Deje $x_1,x_2\in X$ $r_1,r_2>0$ $\|x_1-x_2\|\leq \varepsilon/2$
y $|r_1-r_2|\leq \varepsilon/2$. Vamos a obligado a la distancia entre el
dos cerrados bolas $C_1:=C_{x_1}(r_1)$$C_2:=C_{x_2}(r_2)$.
Deje $w\in C_1$. Si $w\in C_2$,$\inf_{z\in B_2} \|w-z\|=0$.
Supongamos
que $w\notin C_2$, $\|w-x_2\| > r_2$. Entonces tenemos
$$r_2\leq \|w-x_2\|\leq \|w-x_1\|+\|x_1-x_2\|\leq r_1+\varepsilon/2
\leq r_2+\varepsilon.$$
Dejando $w^*=x_2+{r_2\over \|w-x_2\|} (w-x_2)$ tenemos $w^*\in B_2$
y $\|w-w^*\|\leq \|w-x_2\|-r_2\leq \varepsilon.$
por lo $\inf_{z\in B_2} \|w-z\|\leq \varepsilon.$
La combinación de los dos casos, y tomando el supremum $w\in C_1$, podemos deducir que
$\sup_{w\in C_1}\inf_{z\in C_2} \|w-z\|\leq \varepsilon$.
Por simetría llegamos $d_H(C_1,C_2)\leq \varepsilon$.
A partir de esto se puede demostrar que los $(x,r)\mapsto B_x(r)$ conjuntamente continua
de$X\times (0,\infty)$$\mathcal{BC}(X)$. Esto es un poco más fuerte
que el resultado que quería.
Desde $C_x(R)=x+C_0(R)$, la segunda pregunta es respondida aquí:
Cómo probar que $f (x) = \mu (x + B)$ es medible? suponiendo que $\mu$ es un valor no negativo, finito medida.
