¿Cuáles son algunas maneras de justificar las ecuaciones de campo de Einstein?

Question

Puesto que son un postulado de la relatividad general, no es posible "derivar" a las ecuaciones de campo de Einstein $$R_{ab} + \left(\Lambda - \frac{1}{2}R\right)g_{ab} = -8\pi T_{ab}

de cualquier manera muy significativa. Sin embargo, es posible llegar a construcciones de derivación-como que una idea. ¿Cuáles son algunos de estos?

Answer 1

En primer lugar, nos damos cuenta de que los caminos trazados por partículas a través del espacio-tiempo bajo la influencia de un campo gravitatorio parece que sólo dependen de sus posiciones y las velocidades, es decir, son independientes de cualquier identificación personal de carga o la composición de las partículas. Es casi como si las partículas se desplazan a lo largo de las pistas de tallado en alguna curva de la superficie.

Aunque Galileo cuenta de esto, hemos de pasar a ser passingly familiarizado con la geometría diferencial en el punto donde realmente podemos hacer algo. Nos damos cuenta de que, si esta observación realmente a cabo, sería posible describir la curvatura matemáticamente mediante la asignación de un espacio-tiempo distinto de cero Riemann tensor de curvatura $R^a_{bcd}$. Este objeto se describe la rotación de un vector cuando se arrastró a lo largo de un circuito cerrado a través del espacio-tiempo.

¿Qué debemos de par $R^a_{bcd}$ a? Así, la gravedad es obviamente de origen de la masa de alguna manera, pero lo sabemos porque hemos inventado la relatividad especial de einstein de que la masa y la energía están íntimamente conectados. También sabemos que únicamente pueden describir las energías y las presiones de la clásica cuestión de los campos en un bien de coordenadas de manera independiente por su tensión-energía tensor $T_{ab}$. Por tanto, haciendo el salto que tal vez la presión puede fuente de la gravedad así, podemos escribir

$$R^a_{bcd} = -\kappa T_{ab}.$$

Por desgracia, esta ecuación no tiene sentido, porque el lado derecho y el lado izquierdo tiene un número diferente de índices. No importa - sólo podemos contrato de algunos de los índices en el lado izquierdo. Esto nos da el tensor de Ricci $$R_{ab} \equiv R^j_{ajb}$$ así que escribir $$R_{ab} = -\kappa T_{ab}.$$

Esta ecuación predice la precesión del perihelio de Mercurio, así que estamos muy contentos. Por desgracia es bastante grave defecto: $T_{ab}$ es mejor tener idéntica a cero divergencia si la energía es al menos localmente, se conserva - es decir, si la energía no se limita a aparecer de la nada en pequeñas regiones del espacio-tiempo. Pero $R_{ab}$, desgraciadamente, pueden tener distinto de cero de la divergencia.

De nuevo, no hay problema - simplemente podemos restar la divergencia: $$R_{ab} - \frac{1}{2}g_{ab}R = -\kappa T_{ab}$$ donde $$R\equiv R^a_a$$ is the so-called Ricci scalar. Actually this is a bit restrictive: the divergence is determined only up to an arbitrary constant $\Lambda$. Por lo tanto: $$R_{ab} + \left(\Lambda - \frac{1}{2}R\right)g_{ab} = -\kappa T_{ab}.$$

¿Qué acerca de la libre parámetro $\kappa$? Esto no podemos solucionar con la teoría, por lo que tendrá que ser medido, y luego se puso a hacer cumplir el acuerdo con el experimento. En particular, en el límite donde la curvatura es muy débil, se debería ser capaz de reproducir Newtoniana de la gravedad. Resulta que para ello tenemos que establecer $\kappa = 8\pi$, por lo que terminamos con

$$R_{ab} + \left(\Lambda - \frac{1}{2}R\right)g_{ab} = -8\pi T_{ab}.$$

Answer 2

En su clases de Física (volumen 2 capítulo 42) afirma que el campo de la ecuación es equivalente a la siguiente declaración:

Para todos los locales de inercia de los observadores, el escalar de curvatura del espacio en un punto es proporcional a la densidad de la energía en ese punto.

Sencillo, ¿verdad? Al exigir la correcta Newtoniano límite de la constante de proporcionalidad se puede encontrar a ser $16\pi G/c^4$.

Feynman no es prueba de que se puede derivar la ecuación de Campo de este, pero se puede hacer, hay un dibujo de una prueba en mi pregunta y la respuesta aquí.

Tenga en cuenta que esto motiva a la ecuación de Campo con constante cosmológica cero. Para obtener la constante cosmológica plazo, usted tiene que restar una densidad de energía de $\Lambda c^2/8\pi G$ a partir de cada punto en el espacio.

Answer 3

Aquí hay un par de métodos para encontrar las Ecuaciones de Campo de Einstein :

1) La ruta clásica de

El método clásico es tener en cuenta la similitud entre la ecuación geodésica

$$\begin{equation} \ddot x^\sigma + {\Gamma^\sigma }_{\mu\nu} \dot x^\mu \dot x^\nu = 0 \end{equation}$$

Y la clásica ecuación de movimiento para la partícula en un campo gravitatorio :

$$\begin{equation} \ddot {\vec x} = -\nabla \Phi (x) \end{equation}$$

(en el límite clásico, sólo los términos de $\Gamma^a_{00}$ sigue)

lo que significa que podemos asociar a la métrica con el potencial gravitacional $g \approx \Phi$.

La ecuación de Einstein, entonces será algo parecido a la ecuación de Poisson $\Delta \Phi = \rho$. El más simple covariante del tensor de hecho de las segundas derivadas del tensor métrico es el tensor de Riemann. Y, si suponemos que la fuente del campo gravitacional es la tensión tensor de energía (no puede ser algo simple como su seguimiento, debido a diversas razones teóricas), entonces tenemos algo en general de la forma

$$\begin{equation} F_{\mu\nu}(g, \partial g, \partial^2 g) \propto T_{\mu\nu} \end{equation}$$

También nos gustaría que esto tiene (local) de conservación de la energía incorporada en ella, lo que sería algo de la forma

$$\begin{equation} \nabla^\mu F_{\mu\nu}(g, \partial g, \partial^2 g) \propto \nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0 \end{equation}$$

Afortunadamente, gracias a la identidad de Bianchi, hay una forma muy simple para tal cosa, que es el tensor de Einstein

$$\begin{equation} \nabla^\mu (R_{\mu\nu} + \frac{1}{2} Rg_{\mu\nu}) = 0 \end{equation}$$

Que es la "habitual" método de mostrar la agencia EFE, que es un poco histórico y un poco de la mano ondulado.

2) La Fierz-Pauli método

El primer tensor de la teoría de la gravedad fue el Fierz-Pauli teoría, que es el más sencillo, libre de teoría de la simétrica del tensor de campos, y corresponde hoy a la gravedad lineal

$$\begin{equation} \frac 1 2 \square h_{\mu\nu} + \partial_\mu \partial_\nu h - \partial_{\{\nu}\partial^\sigma h_{\mu\}\sigma} + \eta_{\mu\nu} (\partial^\alpha\partial^\beta h_{\alpha\beta} - \square h) = \frac \kappa 2 T_{\mu\nu} \end{equation}$$

Un primer análisis puede demostrar que si queremos gravedad a ser un campo de la teoría, tiene que ser de esta forma (la disminución en el $r^{-2}$ significa que la masa, el hecho de que siempre es atractiva significa que es incluso de giro y de la refracción de la luz prohíbe ser de spin 0).

Esta teoría es invariante bajo algunos $SO(3,1)$ calibre, $h_{\mu\nu} \rightarrow h_{\mu\nu} + \partial_\mu \chi_\nu + \partial_\nu \chi_\mu$. Si utilizamos el equivalente de el gauge de Lorentz, que es

$$\begin{equation} \square h_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} \end{equation}$$

Si tratamos de encontrar la tensión tensor de energía de toda la teoría (la tensión tensor de energía de la materia y del campo gravitacional en sí) con esta teoría básica, nos encontramos con que la energía no se conserva. Para solucionar esto, tenemos que añadir counterterms

$$\begin{equation} \square h_{\mu\nu} = \kappa (T_{\mu\nu}(\phi) + T_{\mu\nu}(h)) \end{equation}$$

Con $T_{\mu\nu}(h)$ entre los no-término lineal del campo. Todavía no es consistente, por desgracia. Si realizamos el mismo proceso en todos los pedidos, y realizar el cambio de variable $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + \kappa h_{\mu\nu}$, terminamos con las ecuaciones de campo de Einstein.

3) El teorema de Lovelock

Lovelock del teorema establece que si tenemos una ecuación diferencial del tipo de

$$\begin{equation} D_{\mu\nu}[g] = T_{\mu\nu} \end{equation}$$

con $D$ algunos diferencial operador que actúa sobre la métrica, que es sólo en la mayoría de los de orden 2 (segunda derivados de la métrica), y tal que $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$, y el espacio-tiempo considerado es de cuatro dimensiones, a continuación,

$$\begin{equation} D_{\mu\nu}[g] = a G_{\mu\nu} + b g_{\mu\nu} \end{equation}$$

Con $G$ el tensor de Einstein y el segundo término es una constante cosmológica plazo. Es un largo teorema, la demostración de que se puede encontrar en Straumann la "teoría General de la Relatividad"

4) Manómetro y medidor de como los métodos para la gravedad

Es posible describir la gravedad como una (especie de) teoría de gauge. La teoría ha de ser invariante bajo las dos siguientes transformaciones :

$$\begin{eqnarray} x &\rightarrow& f(x)\\ \varphi(x) &\rightarrow& \Lambda(x) \varphi(x) \end{eqnarray}$$

El primero es un diffeomorphism aplicado a las coordenadas (coordenadas cambio), del grupo de $GA(4,\Bbb R)$, el general afín grupo (que puede ser reducido a $O(3,1) \ltimes \Bbb R^4$ o, si el tiempo se porta bien, $SO^\uparrow(3,1)\ltimes \Bbb R^4$, el especial orthochronous grupo de Poincaré), con el correspondiente "medidor de campo" es el tetrad campo, y el segundo es un $SO^\uparrow(3,1)$ indicador en los campos, con el medidor de campo que se va a la vuelta de la conexión. El tensor de Ricci de la Lagrangiana es sólo el campo de fuerza de la conexión.

Hay algunos otros métodos, pero este es el que yo pueda pensar de