Convertir de Raíces cuadradas anidadas a Suma de raíces cuadradas

Question

Estoy buscando una manera de descubrir fácilmente cómo pasar de una raíz anidada a una suma de raíces. Por ejemplo,

$$\sqrt{10-2\sqrt{21}}=\sqrt{3}-\sqrt{7}$$

Sé que si pongo $\alpha=\sqrt{10-2\sqrt{21}}$ , elevando al cuadrado ambos lados, obtengo

$$\alpha^2=10-2\sqrt{21}$$

Ahora reconozco que tenemos una situación en la que $10=3+7$ y $21=7\cdot 3$ , por lo que puedo ver inmediatamente que tenemos

$$\alpha^2=10-2\sqrt{21}=3-2\sqrt{21}+7=\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\sqrt{7}^2=(\sqrt{3}-\sqrt{7})^2$$

Mi pregunta es, ¿es ésta la única manera de abordar este problema? Este enfoque refleja los métodos básicos de álgebra 1 para la factorización de cuadráticos, pero tengo curiosidad por saber si hay otras técnicas que puedan utilizarse para deducir rápidamente que un radical anidado puede simplificarse a la suma de dos radicales. Matemáticamente, supongamos que $a,b,c,m,n,r,s\in\mathbb{N}$ . ¿Existe una manera de determinar rápidamente $m,n,r,s$ en la ecuación

$$\sqrt{a\pm b\sqrt{c}}=m\sqrt{r}\pm n\sqrt{s}$$

Answer 1

Supongamos que $a+b\sqrt{c}=(m\sqrt{r}+n\sqrt{s})^2$ , donde $a,b,c,m,n,r,s\in\mathbb{Z}$ y $r,s,c>0$ . Entonces tienes lo siguiente: $$a=m^2r+n^2s\\ b=2mn\\ c=rs\\ a+b\sqrt{c}>0$$

Esto demuestra que $b$ debe ser par, y los gcd's de $m,n$ y $r,s$ cada división $a$ . No veo ninguna razón por la que este conjunto de ecuaciones diofánticas tenga una solución especialmente limpia. Como ejemplo de un caso en el que no se puede obtener la forma deseada tenemos $\sqrt{64+35\sqrt{3}}$ .

Answer 2

Dejemos que $a$ y $b$ sean números racionales no negativos tales que $$\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$ Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene $$10 - 2\sqrt{21} = a - 2\sqrt{ab} + b$$ Si se emparejan las partes racionales e irracionales se obtiene el sistema de ecuaciones $$\begin{align*} a + b & = 10 \tag{1}\\ -2\sqrt{ab} & = -2\sqrt{21} \tag{2} \end{align*}$$ Dividiendo ambos lados de la ecuación 2 por $-2$ y si se eleva al cuadrado se obtiene $$ab = 21$$ Resolver para $b$ rinde $$b = \frac{21}{a}$$ Sustituyendo esta expresión en la ecuación 1 se obtiene $$a + \frac{21}{a} = 10$$ Multiplicando ambos lados de la ecuación por $a$ y resolviendo la ecuación cuadrática resultante se obtiene $$\begin{align*} a^2 + 21 & = 10a\\ a^2 - 10a + 21 & = 0\\ (a - 3)(a - 7) & = 0 \end{align*}$$ Las raíces son $a = 3$ y $a = 7$ . Si $a = 3$ entonces $b = 21/a = 21/3 = 7$ . Sin embargo, $$\sqrt{3} - \sqrt{7} < 0 \implies \sqrt{10 - 2\sqrt{21}} \neq \sqrt{3} - \sqrt{7}$$ ya que la raíz cuadrada principal de un número no puede ser negativa.

Si $a = 7$ entonces $b = 21/a = 21/7 = 3$ . Por lo tanto, $$\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$$

Si en lugar de ello tuviera que evaluar $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ , set $$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$