Divergencia de un campo y su interpretación

Question

La divergencia de un campo eléctrico debido a una carga puntual (según Ley de Coulomb ) es cero . En la literatura, la divergencia de un campo indica presencia/ausencia de un sumidero/fuente para el campo .

Sin embargo, es evidente que existe una carga. Así que no había ninguna vía de escape.

Para resolver esto, Dirac aplicó el concepto de función delta y lo definió de forma irreal (el valor de la función es cero en todas partes excepto en el origen, donde el valor es infinito). Sin embargo, el concepto fue aceptado y pudimos demostrar que

$\nabla \cdot \vec E=0$ en todas partes excepto en el origen.

Conclusión : La fuente del campo eléctrico existe aunque su divergencia es nula en todas partes excepto en el punto de la fuente.

En el caso del campo magnético aún no hemos observado su origen o su sumidero. Sin embargo, la divergencia nula de este campo implica que no existe carga magnética y como no tenemos ningún monopolo magnético a mano, no se trata de encontrar el campo en el punto de origen.

¿No es esto un doble rasero? ¿Realmente necesitamos encontrar una divergencia no nula de un campo para que su fuente exista?

Answer 1

Esto queda mucho más claro si se consideran las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell. Empezamos con la Ley de Gauss \begin{equation} \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation} Si integramos esto sobre algún volumen $V$ y aplicar Teorema de la divergencia de Gauss encontramos que el lado izquierdo da \begin{align} \int_V\mathrm{d}^3\vec{x}\;\nabla\cdot\vec{E}= \int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{E}\end{align} donde $\partial V$ es el límite de $V$ . Mientras que el lado derecho da \begin{equation} \int_V\mathrm{d}^3\vec{x}\;\frac{\rho}{\epsilon_0}= \frac{Q}{\epsilon_0}\end{equation} Donde $Q$ es la carga total encerrada en $V$ . Si se combinan los dos, se obtiene \begin{equation}\int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{E} = \frac{Q}{\epsilon_0}\end{equation} I palabras el flujo eléctrico que entra en cualquier región cerrada es igual a la carga contenida en esa región, es decir, las líneas de campo eléctrico sólo empiezan y terminan en las cargas.

A la inversa, podemos aplicar esta ecuación sobre un volumen arbitrario, $V$ . En particular, podemos elegir un volumen tan pequeño que $\nabla\cdot\vec{E}$ y $\rho$ son aproximadamente constantes, por lo que podemos recuperar la forma diferencial de la Ley de Gauss.

Ahora veamos cómo son estas ecuaciones para una carga puntual, $q$ en el origen. Para cualquier volumen $V$ que no incluye el origen, $Q = 0$ Así que al tomar $V$ pequeño encontramos que $\nabla\cdot\vec{E} = 0$ . Sin embargo, si consideramos un volumen que incluye el origen, entonces $Q = q$ y la integral de $\nabla\cdot\vec{E}$ es distinto de cero. Si dejamos que el volumen de $V\rightarrow 0$ encontramos que $Q$ se mantiene constante mientras el origen esté contenido, por lo que \begin{equation}\frac{Q}{V}\rightarrow\rho\rightarrow \infty\end{equation} Así que $\rho$ ¡debe divergir para una carga puntual! Además, este comportamiento en el que el valor de una integral viene dado por el valor del integrando en un punto es la definición del delta de Dirac. Si esto no te satisface, puedes volver a la cuestión de si las cargas puntuales existen realmente, pero ésta es una cuestión empírica, más que teórica. (Actualmente tenemos pocas razones para pensar que las partículas fundamentales no son puntuales).

Se puede hacer un análisis similar con los campos magnéticos, donde encontramos que \begin{equation} \int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{B} = 0\end{equation} para cualquier volumen $V$

Answer 2

I) Bien, el forma diferencial de Ley de Gauss

$$\tag{1} {\bf\nabla} \cdot{\bf E}~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$

utiliza el concepto matemático relativamente avanzado de Distribuciones delta de Dirac en caso de cargas puntuales

$$\tag{2} \rho({\bf r})~=~\sum_{i=1}^n q_i\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i).$$

Obsérvese, en particular, que es técnicamente incorrecto afirmar (como parece hacer OP) que la distribución delta de Dirac $\delta^3({\bf r})$ es simplemente un función $f:\mathbb{R}^3\to [0,\infty]$ que toma el valor cero en todas partes excepto en el origen, donde el valor es infinito:

$$\tag{3} f({\bf r})~:=~\left\{ \begin{array}{rcl} \infty& {\rm for}& {\bf r}={\bf 0}, \cr 0& {\rm for}& {\bf r}\neq {\bf 0}.\end{array}\right. $$

Para empezar, para un función de prueba $g:\mathbb{R}^3\to [0,\infty[$ El Integral de Lebesgue $^1$

$$\tag{4} \int_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~f({\bf r})g({\bf r}) ~=~0 $$

desaparece, en contraste con la propiedad definitoria de la distribución delta de Dirac

$$\tag{5} \int_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~\delta^3({\bf r})g({\bf r}) ~=~g({\bf 0}). $$

La distribución delta de Dirac $\delta^3({\bf r})$ es no una función. En cambio, es una función generalizada . Es posible dar un tratamiento matemáticamente consistente a la distribución delta de Dirac. Sin embargo, hay que destacar que el análisis no se reduce a la investigación de dos casos distintos ${\bf r}= {\bf 0}$ y ${\bf r}\neq {\bf 0}$ sino que, por el contrario, se trata de funciones de prueba (difuminadas). Para hacerse una idea de las diversas complejidades que pueden surgir con las distribuciones, el lector puede encontrar este Interesante post de Phys.SE.

II) Para evitar la noción de distribuciones es más seguro (y probablemente más intuitivo) trabajar con el equivalente forma integral de Ley de Gauss

$$\tag{6} \Phi_{\bf E}~=~ \frac{Q_e}{\varepsilon_0}. $$

El correspondiente Ley de Gauss para el magnetismo

$$\tag{7} \Phi_{\bf{B}}~=~ 0 $$

expresa (sin emplear un doble rasero) el hecho de que no hay carga magnética $Q_m$ .

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$^1$ La ecuación (4) se basa en el hecho de que en teoría de la integración para funciones no negativas, se define la multiplicación $\cdot: [0,\infty]\times[0,\infty]\to[0,\infty]$ en la semilínea real extendida $[0,\infty]$ para que $0\cdot\infty:=0$ . La ecuación (4) se debe esencialmente al hecho de que $f$ es cero casi en todas partes . También debemos mencionar el hecho bien conocido de que la teoría de la integración puede generalizarse adecuadamente de las funciones no negativas a las funciones de valor complejo.

Answer 3

Las ecuaciones de Maxwell establecen

$$ \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

$$ \nabla \cdot \vec B = 0 $$

Si aceptamos las ecuaciones de Maxwell como verdaderas, no hay fuente/sumidero del campo magnético, ya que la divergencia del campo magnético es cero no importa qué . Sin embargo, independientemente de lo que se piense del delta de Dirac, donde hay carga, hay divergencia no nula del campo eléctrico. Y, a la inversa, donde hay divergencia no nula, hay carga.

Ahora bien, no es el Delta de Dirac que es "irreal" (es una distribución perfectamente definida), es el concepto de "carga puntual". Cada La carga que conocemos tiene esta carga distribuida en un área del espacio, aunque sea pequeña, y el delta de Dirac es una forma de modelar que esta área es tan pequeña que no nos importa que no sea un punto. Y si realmente hubiera una carga puntual, el delta de Dirac describiría exactamente su densidad de carga, porque el volumen de un punto es claramente cero, y cualquier carga que tenga dividida por cero es infinita. (Haz no tómese esto como una afirmación rigurosa, esto es lo máximo que se puede hacer a mano)

Lo más grave que hay que aprender aquí es que las densidades son distribuciones - no tienen sentido si no se integran, y si integramos sobre una carga puntual con $\rho(r) = q \delta(r)$ obtenemos la carga perfectamente finita $q$ . No hay nada equivocado con el delta de Dirac como densidad de carga (u otra).

Answer 4

Escribes: "En el caso del campo magnético aún no hemos observado su origen ni su sumidero".

Si quiere decir que "aún no hemos observado a fuente o fregadero", tienes razón.

Sin embargo, consideremos el campo vectorial magnético (ignorando las unidades/hablando cualitativamente):

$$\vec{B}=(0, \frac{z}{(1+r^2)^2},\frac{y}{(1 + r^2)^2})$$

Este es un campo válido porque es el rizo del potencial vectorial $(\frac{1}{1+r^2},0,0)$ .

Es un campo magnético instantáneo válido. Podrías utilizar las ecuaciones de Maxwell para encontrar una densidad de corriente o un campo eléctrico cambiante, pero eso está fuera de lugar. El punto es:

1. No hay fuente ni sumidero de $\vec{B}$ ,
2. Desde $\vec{B}$ va a cero en el infinito, ninguna fuente o sumidero ha sido "empujado al infinito".
3. La energía almacenada en el campo es finita.

Esto es realmente un campo magnético finito sin fuente ni sumidero. No se trata de observar su fuente o sumidero. No hay fuente ni sumidero que observar.

He utilizado el término "fuente o sumidero" para referirme a $\nabla \cdot \vec{V}\neq 0$ . Pero también se puede utilizar el término "fuente" para significar "causa de", en cuyo caso "fuente" no es sinónimo de $\nabla \cdot \vec{V}\neq 0$ . Puede consultar Ley circuital de Ampère y decir que el $\vec{B}$ campo es causado por una corriente o un campo eléctrico cambiante. Así que no es como si $\nabla \cdot \vec{B}=0$ implica que el campo B no tiene "fuente", en el sentido general de la palabra.

Si $\vec{B}$ representado el campo de velocidad de un líquido que llena el espacio, entonces la divergencia cero implica que no se inyecta/extrae agua en ninguna parte. Pero $\vec{B}$ no representa el campo de velocidad de un líquido que llena el espacio.