Probar que si $a+b$ $ab$ son de la misma paridad, a continuación, $a$ $b$ son incluso.

Question

He aquí la prueba:

Deje $a,b \in \mathbb{Z}$. Probar que si $a+b$ $ab$ son de la misma paridad, a continuación, $a$ $b$ son incluso.

Al trabajar estos problemas, yo trato a poner lógicamente. Mi scratch trabajo generalmente se ve algo como esto:

$P: a+b$ $ab$ son de la misma paridad

$Q: a$ $b$ son incluso

$P \Rightarrow Q:$ Si $a+b$ $ab$ son de la misma paridad, a continuación, $a$ $b$ son incluso.

$Q \Rightarrow P$: Si $a$ $b$ son incluso, a continuación, $a+b$ son de la misma paridad.

Por alguna razón, estoy enganchado a escribir el contrapositivo de esta declaración cuando se abordan los delanteros ($P \Rightarrow Q$) dirección de este bicondicional.

Aquí es lo que yo estaba pensando:

Si $a$ o $b$ no es ni siquiera (impar), entonces $a+b$ o $ab$ son de distinta paridad.

Creo que estoy negando demasiado, y aquí es donde yo lucho: ¿cuál sería el adecuado negación? ¿Cómo puedo saber qué negar (o interruptor) frente a lo que debe dejar en paz? Yo por lo general conseguir que "y" es un "o", pero luego me siento como empiezo a negar demasiado (si eso tiene sentido...).

Algún consejo? Por lo general se puede llegar a este punto con bastante facilidad, pero yo quería usar contrapositivo para $P \Rightarrow Q$, y no creo que estoy escribiendo la declaración correctamente. Además de la comprobación de esto, agradecería cualquier consejo cuando se trata de a qué parte de mi declaración no debe negar. Gracias!

Answer 1

El contrapositivo de la declaración de

Si $\overbrace{\text{$ab$ and $+b$ have the same parity}}^{\large P}$, $\overbrace{\text{$$ is even and $b$ is even}}^{\large Q}$.

es

Si $\overbrace{\text{$$ is odd or $b$ is odd}}^{\large\lnot Q}$, $\overbrace{\text{$ab$ and $+b$ have different parities}}^{\large\lnot P}$.

Tenga en cuenta que $Q$ es la conjunción $S\land T$ donde $S$ "$a$ es" e $T$ "$b$ es aún". Por lo tanto, $\lnot Q$ es la disyunción $\lnot S\lor\lnot T$.

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Aquí es un enfoque alternativo:

$\begin{array}{cr} \text{%#%#% and %#%#% have the same parity}\\ \Updownarrow&\qquad\text{(1)}\\ \text{%#%#% is even}\\ \Updownarrow&\qquad\text{(2)}\\ \text{%#%#% is odd}\\ \Updownarrow&\qquad\text{(3)}\\ \text{%#%#% is odd and %#%#% is odd}\\ \Updownarrow&\qquad\text{(4)}\\ \text{%#%#% is even and %#%#% is even}\\ \end{array}$

Comentarios:
$ab$: $a+b$ y $ab-(a+b)$ tienen la misma paridad, si y sólo si $(a-1)(b-1)$ es incluso
$a-1$: $b-1$
$a$: $b$ es impar si y sólo si ambas $(1)$ $m$ son impares
$n$: $m-n$ es el opuesto de la paridad de $(2)$

Answer 2

Usted tiene el contrapositivo derecho. Usted debe negar $P$ $Q$ por separado y demostrar que la negación de la $Q$ implica la negación de $P$.

Para ampliar sobre esto, porque "$a$ $b$ son incluso" ser falso, sólo se necesita un de $a$ $b$ a ser impar, por lo que la negación es "$a$ no es uniforme o $b$ no es aún".

Y para la declaración de "$a+b$ $ab$ tienen la misma paridad" para ser falso, usted necesita $a+b$ $ab$ tener diferentes paridad, que es lo que usted escribió.

(Algo muy interesante acerca de la escritura de la prueba de esta dirección por el contrapositivo es que se llega a utilizar un "sin pérdida de generalidad", porque las expresiones $a+b$ $ab$ son simétricas. Si se prueba directamente, tendría para el tratamiento de dos casos, uno en el que ambas expresiones son iguales, y uno donde ambos son impares.)

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EDIT: Aclaración de la y/o discusión en los comentarios.

Voy a tratar de ilustrar la diferencia entre una y que es negado en una o y una y que no lo es.

En la declaración de

$a$ e $b$ son incluso

usted tiene una lógica y, que se convierte en una o en la negación:

$a$ es impar o $b$ es impar

que también se puede escribir como

$a$ o $b$ es impar

La diferencia entre esta declaración y la de los tuyos es que esta declaración, en realidad puede ser escrito como dos declaraciones conectados por una y:

$a$ es incluso y $b$ es incluso

Si dejamos $E(x)$ ser la afirmación "$x$ es aún", a continuación, toda la instrucción anterior es $E(a) \land E(b)$, es decir, su negación es $\lnot E(a)\lor \lnot E(b)$.

En contraste, no podemos volver a escribir la declaración de ($a+b$$ab$ tienen la misma paridad) como dos declaraciones conectado con una y, porque no tiene sentido decir

$a$ tiene la misma paridad y $b$ tiene la misma paridad

Esto sucede porque "$a$ $b$ tienen la misma paridad" es una declaración acerca de dos cantidades, no dos estados, cada uno de aproximadamente una cantidad, conectados por una y.

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Aquí es otro (tal vez más simple) ejemplo:

Alice y Bob, como la pizza

Puede escribirse como

Alice le gusta la pizza y Bob le gusta la pizza

Por lo que su negación es

Alice o a Bob no le gusta la pizza

Sin embargo, la declaración de

Alice y Bob son amigos

no puede escribirse como

Alice es amigo y Bob es amigo

por lo que su negación es

Alice y Bob no son amigos

Básicamente, usted tiene que evaluar si la declaración que usted está tratando de negar, es una declaración relativa de dos cantidades (en cuyo caso el y no es negado en un o) o dos declaraciones individuales, cada uno de aproximadamente una cantidad, conectados por una lógica y (lo que es negado en una o). Espero que esto te aclare un poco las cosas.

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(Nota: En los casos donde el y no es lógico, no es esencial para el significado de la frase. Podríamos reformular su declaración como "$a+b$ tiene la misma paridad que $ab$"; entonces su negación es más claramente $a+b$ no tiene la misma paridad que $ab$. Del mismo modo, podríamos reformular el segundo ejemplo, como "Alice es amigos con Bob"; entonces su negación es "Alice no es amiga de Bob". (Esta es una nota de lado, porque es más complicado y puede ser más difícil de generalizar.))

Answer 3

¿Cuál sería el adecuado negación?

Resulta que, en este caso, hay un número de maneras que usted puede ir en cómo quieres probar esta afirmación, no sólo a través de prueba directa o contrapositivo, sino también cómo enmarcar la pregunta, lógicamente, también. Voy a esbozar lo que creo que es la más clara y más fácil manera de ir sobre él.

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Reclamo: Vamos A $a,b\in\mathbb{Z}$. Si $a+b$ $ab$ tienen la misma paridad, a continuación, $a$ $b$ son incluso.

Prueba. Comenzar por escribir la reclamación lógicamente, como lo han hecho antes:

• $P : a+b$ $ab$ tienen la misma paridad.
• $Q : a$ $b$ son ambos inclusive.

Por lo tanto, usted está tratando de demostrar que $P\to Q$, algo que se puede demostrar por contraposición, desde la $P\to Q\equiv\neg Q\to\neg P$. Por lo tanto, la formulación de las negaciones de a$P$$Q$:

• $\neg P : a+b$ $ab$ no tienen la misma paridad (esto es más fácil de formulación de intentar meterse con alguna aplicación de DeMorgan).
• $\neg Q : a$ o $b$ es impar (o ambos).

Por lo tanto, para demostrar $\neg Q\to\neg P$, deberá demostrar los siguientes:

Si $a$ o $b$ son impares, entonces $a+b$ $ab$ no tienen la misma paridad.

Tenga en cuenta que hay tres casos a considerar:

1. $a$ es impar y $b$ es incluso.
2. $a$ es incluso y $b$ es impar.
3. $a$ es impar y $b$ es impar.

Como coldnumber señaló, usted puede esencialmente "bulto" (1) y (2) debido a la simetría (los llamados "sin pérdida de generalidad"). Así que en última instancia tener en cuenta, decir, (1) y (3). Voy a probar por debajo de ellos, y sus pruebas se concluye que el total de la prueba.

La prueba de (1): Vamos a $a=2\ell+1, \ell\in\mathbb{Z}$$b=2\eta, \eta\in\mathbb{Z}$. Entonces tenemos que $$ a+b=2\ell+1+2\eta=2(\ell+\eta)+1=2\gamma+1,\gamma\in\mathbb{Z}\etiqueta{$a+b$ es impar} $$ y $$ ab=(2\ell+1)2\eta=2[\eta(2\ell+1)]=2\gamma \gamma\in\mathbb{Z}.\la etiqueta{$ab$ es incluso} $$ Esto demuestra (1). $\blacksquare$

La prueba de (3): Vamos a $a=2\ell+1, \ell\in\mathbb{Z}$$b=2\eta+1, \eta\in\mathbb{Z}$. Entonces tenemos que $$ a+b=(2\ell+1)+(2\eta+1)=2(\ell+\eta+1)=2\gamma \gamma\in\mathbb{Z}\etiqueta{$a+b$ es incluso} $$ y $$ ab=(2\ell+1)(2\eta+1)=4\ell\eta+2\ell+2\eta+1=2(2\ell\eta+\ell+\eta)+1=2\gamma+1, \gamma\in\mathbb{Z}.\la etiqueta{impar} $$ Esto prueba (3). $\blacksquare$

Answer 4

Considere la posibilidad de $f(X) = (X-a)(X-b) = X^2 - (a+b)X + ab$.

Desde $f(X) \equiv X^2\pmod{2}$, se deduce que sus raíces son aún.

Answer 5

Esta respuesta está cerca de robjohn's respuesta, escrita en muy similares 'cálculo' estilo diseñado y utilizado por Edsger W. Dijkstra, Carel S. Scholten, et al.: ver EWD1300 para obtener más detalles.$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\op}[1]{\\ #1 \quad & \quad \unicode{x201c}} \newcommand{\hints}[1]{\mbox{#1} \\ \quad & \quad \phantom{\unicode{x201c}} } \newcommand{\hint}[1]{\mbox{#1} \unicode{x201d} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\ref}[1]{\text{(#1)}} \newcommand{\impar}[1]{#1\text{ es aún}} $

Calculamos de la siguiente manera: $$\calc a + b\text{ y }ab\text{ tienen la misma paridad} \op\equiv\sugerencia{definición de paridad} \, incluso, {a + b} \;\equiv\; \, incluso{ab} \op\equiv\sugerencia{LHS: cualquiera de los dos o ninguno son aún; RHS: al menos uno es incluso} \, incluso \;\equiv\; \, incluso, b \;\equiv\; \, incluso \lor \, incluso, b \op\equiv\sugerencia{lógica: ¿qué Dijkstra et al. llamada la "regla de oro"$\ref{0}$} \, incluso \de la tierra \, incluso, b \endcalc$$

Aquí la "regla de oro" es la siguiente ley de la lógica proposicional: $$ \tag{0} P \de la tierra Q \;\equiv\; P \lor Q \;\equiv\; P \;\equiv\; P $$ También tenga en cuenta que la lógica de la equivalencia $\;\equiv\;$ ("si y sólo si") es asociativa, por lo que no hay paréntesis son necesarios en esa última declaración.