Deje $F$ ser un no-arquímedes campo local o un general de campo global.
Ha $F^\times / (F^\times)^2$ cardinalidad $2$?
Respuesta
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Para $F = \mathbb Q_2$ tenemos $\mathbb Q_2^\times / (\mathbb Q_2^\times)^2 \cong (\mathbb Z / 2\mathbb Z)^3$, por lo que la cardinalidad es de 8, no 2.
2-ádico número $x =\mathbb Q_2^\times$ puede ser escrito como $x = 2^k u$$k \in \mathbb Z$$u \in \mathbb Z_2^\times$, lo $\mathbb Q_2^\times \cong \mathbb Z \times \mathbb Z_2^\times$ . Uno puede fácilmente demostrar que $x$ es un cuadrado en $\mathbb Q_2^\times$ fib $k$ es incluso y $u \equiv 1 \pmod {2^3}$, lo $(\mathbb Q_2^\times)^2 \cong 2\mathbb Z \times U^{(3)}$ donde $U^{(3)} = \{ u \in \mathbb Z_2^\times | u \equiv 1 \pmod{2^3} \}$ es el tercer grupo de unidades principales. Por lo tanto $$\mathbb Q_2^\times / (\mathbb Q_2^\times)^2 \cong \mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z_2^\times/U^{(3)} \cong (\mathbb Z/2\mathbb Z)^3.$$
