Si yo quería mostrar que un grupo de orden $66$ tiene un elemento de orden $33$, podría decir simplemente que tiene un elemento de orden $3$ (por medio del teorema de Cauchy, ya $3$ es un primer e $3 \mid 66$), y del mismo modo que no debe ser un elemento de orden $11$, y luego multiplicar estos para obtener un elemento de orden $33$? Estoy bastante seguro de que esto está mal, pero si alguien pudiera ayudarme le agradecería. Gracias.
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Bryan Roth
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Paso 1: Mostrar que cualquier grupo finito de orden $4k+2$ tiene un índice de dos subgrupos. (Sugerencia.)
Paso 2: Mostrar que cualquier grupo de orden $33$ es cíclico.
Xetius
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clintp
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Para complementar las respuestas, voy a abordar por qué conmutatividad es necesario. Deje $G$ ser su grupo de $o(x)$ denotar el orden de $x\in G$. Usted está haciendo uso de la instrucción que $o(a)o(b)=o(ab)$, pero esto no es necesariamente cierto. Se mantiene cuando $o(a),o(b)$ son coprime y $ab=ba$ (una consecuencia interesante de esto es que las sumas parciales $s_n$ de la serie armónica nunca son enteros para $n>1$, lo que sigue a partir de Bertrand postulado y $\mathbb Q/\mathbb Z$ abelian), pero hay nonabelian grupos de orden $66$,$S_6\oplus \mathbb Z_{11}$. Si $ab=ba$ $o(a),o(b)$ son coprime, a continuación,$(ab)^{o(a)o(b)}=a^{o(a)}b^{o(b)}=e\cdot e=e$, lo $o(ab)\leq o(a)o(b)$. Si $(ab)^n=e$$a^nb^n=(ab)^n=e$$(a^n)^{-1}=b^n$, por lo tanto $o(a^n)=o(b^n)$, y si $n<o(a)o(b)$ desde $o(a),o(b)$ coprime tenemos que uno de $a^n,b^n\neq e$. Pero $o(b^n)=o(a^n)|o(a)$ desde $(a^{n})^{o(a)}=(a^{o(a)})^n=e^n=e$, y de manera similar a $o(a^n)=o(b^n)|o(b)$, lo $o(a^n)=o(b^n)=1$. Por lo tanto $a^n=b^n=e$, lo $n\geq o(a)o(b)$$o(ab)=o(a)o(b)$.
