Estoy aprendiendo acerca de la función zeta y ya descubrió el intuitivo prueba de Euler del producto y de los convenios de Basilea problema de la prueba. Quiero aprender a calcular el primer cero de la Riemman Zeta función, pero sé que voy a tener que aprender acerca de la continuación analítica y otras cosas. El problema es que no puedo encontrar intuitiva de las pruebas y otras cosas explaned desde su punto de vista intuitivo. Yo sólo encontrar los libros que aceptar las fórmulas, pero realmente no puedo aprender acerca de ellos. Quiero saber cómo transformar el normal Zeta función en el plano complejo, y si es posible, el ejemplo más sencillo de esta técnica para una función simple, así que sé cómo funciona y lo que realmente significa la ampliación de una función en el plano complejo.
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ACTUALIZACIÓN 2
Sánchez propone el ejemplo de $\frac 1{1-x}=1+x+x^2+\cdots$ $\,x\in\mathbb{R}\,$ que se convierte en$\frac 1{1-z}=1+z+z^2+\cdots$$\,z\in\mathbb{C}\,$. Tenga en cuenta que esta no está definida para $z=1$.
Prácticamente esto significa que los cálculos más reales deben ser sustituidos por los correspondientes cálculos sobre valores complejos.
Vamos a empezar en el eje real cerca de $x_0$ con el más general de expansión :
$$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots$$
Para simplificar un poco de continuación analítica se trata de conseguir la misma expansión $$f(z)=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\cdots$$ for complex numbers $z$ around a complex point $z_0$ and similar expansions $f(z)=b_0+b_1(z-z_1)+b_2(z-z_1)^2+\cdots\;$ around other points $z_1,\;z_2$ y así cubrir tanto como sea posible del plano complejo.
Vamos a empezar por ejemplo con $z_0=x_0=0$ $\frac 1{1-z}$ función (con un radio de la unidad de convergencia de disco), seguido por otros dos discos centrados en el complejo de valores $z_1$, $z_2$ (evitar la pole en $z=1$) entonces tenemos esta imagen :
Una de las ventajas de análisis complejo es que usted va a ver directamente que, por ejemplo, $\displaystyle\frac 1{1+z^2}$ tiene un problema en la $z=i$ $z=-i$ (debido a que el denominador se desvanece !). Desde $|i-0|=|-i-0|=1$ puede deducir que el radio de convergencia en $z_0=0$ $\frac 1{1+z^2}=1-z^2+z^4-\cdots\,$ $1$ (desde el círculo unitario con centro en el $0$ 'tocar' el imaginario $i$ $-i$ como se muestra arriba).
El complejo puntos que necesitamos para evitar que se denominan "no extraíble singularidades'. Cerca de uno de estos puntos de la suave expansión de Taylor será sustituido por Laurent de la serie :
$$f(z)=\cdots+\frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2}+\frac{a_{-1}}{z-z_0}+a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\cdots$$
(con un número infinito de exponentes negativos en el caso de una 'singularidad esencial')
Calcular derivadas y las integrales se hace casi igual que en el caso real, pero con la segunda dimensión de la que tenemos la posibilidad de integrar la circular alrededor de los contornos (volver al punto de partida mediante una ruta de acceso diferente).
Vamos a calcular $\int_C f(z)\;dz$ mediante la evaluación de sus mandantes : tenemos, como en el caso real $\int (z-z_0)^n\,dz=\frac {(z-z_0)^{n+1}}{n+1}$, excepto en el caso de $n=-1$ donde obtenemos el complejo logaritmo $\log(z-z_0)$. Para $n\not =-1$ un en contrario contorno integral va a restar dos veces el mismo valor y ser $0$ mientras que para $n=-1$ la parte imaginaria se han ganado y adicional $2\pi\,i$ (ver la foto de la última enlace).
Esto implica que la integral de la totalidad de Laurent de la serie sobre el contorno simplemente se $\ 2\pi\;i\;a_{-1}\ $ $a_{-1}$ el famoso 'residuo' de $f$$z_0$.
Vamos a llegar a la zeta la función para la que probablemente vio define como : $$\zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^z}$$ (o con $z$ escrito como $x$ real, pero en este punto, usted debe entender que no importa : la expresión será el mismo !)
El problema con esta serie es la convergencia : para valores reales de $z$ que se reunirán solamente para valores mayores que $1$ (a partir de la integral de la prueba'). Para valores complejos el problema es el mismo : no convergen $\Re(z)<1$, de modo que esta serie no puede ser utilizado directamente para encontrar cualquier cero de $\zeta$.
Afortunadamente una ligera modificación permitirá obtener la convergencia de $\Re(z)>0$ : \begin{align} \zeta(z)&=\frac 1{1^z}+\frac 1{2^z}+\frac 1{3^z}+\frac 1{4^z}+\frac 1{5^z}+\cdots\\ &=\frac 1{1^z}-\frac 1{2^z}+\frac 1{3^z}-\frac 1{4^z}+\frac 1{5^z}+\cdots+\frac 2{2^z}+\frac 2{4^z}+\cdots\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}{n^z}+\frac 2{2^z}\left(1+\frac 1{2^z}+\frac 1{3^z}\cdots\right)\\ \zeta(z)&=\sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}{n^z}+2^{1-z}\zeta(z)\\ \end{align} Poniendo a $\zeta(z)$ a la izquierda le da $\ \displaystyle\zeta(z)\left(1-2^{1-z}\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}{n^z}\;$ y el : $$\zeta(z)=\frac 1{1-2^{1-z}}\sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}{n^z}$$ Todavía hay una singularidad en$z=1$, pero ahora tenemos una alternativa de la serie que van a converger en el real intervalo de $(0,1)$ y, de hecho, en la mitad del plano- $\Re(z)>0$ (excluyendo sólo los $z=1$) (prueba). El (gravemente esquematizadas) continuación analítica de proceso permite ir desde la mitad del plano- $\Re(z)>1$ a la mitad del plano- $\Re(z)>0$ (menos $z=1$) y define una función única. Podemos por ejemplo utilizar una convergencia de disco de radio $1$ centrada en $z_3=2$ y luego girar en torno a $1$ $z_2$ a partir de la imagen y continuar con el proceso (el restante en la región de $\Re(z)>0$).
Otra fórmula para $\zeta$ que funciona muy bien es obtenido mediante Euler de Maclaurin de la expansión: $$\zeta(z) \sim \sum_{k=1}^N \frac 1{k^z} \color{#bb0000}{+\frac 1{(z-1)\;N^{z-1}}}\\\color{#006600}{-\frac 1{2\;N^z}+\frac z{12\;N^{z+1}}-\frac{z(z+1)(z+2)}{720\;N^{z+3}}+\frac{z(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}{30240\;N^{z+5}}}$$ La ingeniosa idea de Euler como la mayoría de los primeros trabajos acerca de la verdadera función zeta) es :
- calcular los primeros términos de la $\zeta$ de la serie (más de ellos significará una mayor precisión y, de hecho, necesitaremos $2\,\pi\,N >\ |\Im(z)|$, de modo que $N=10$ es suficiente para imaginaria en $60$)
- reemplace el resto de los términos de la correspondiente integral de la $\;\color{#bb0000}{\int_{N+1}^\infty \frac {dk}{k^z}}$
- agregar correctivas términos a tener en cuenta a la anterior de sustitución de la suma por una integral. El numéricos de los coeficientes que aparecen aquí son los famosos números de Bernoulli dividido por el correspondiente factorial $\frac {B_n}{n!}$$B_{2n+1}=0$$n>0$.
Es interesante observar que esta fórmula sigue siendo válida para valores complejos y también funciona para el real negativo partes de $z$ (dependiendo del número de Bernoulli términos al final).
Vamos a mostrar demasiado la serie de Laurent $\zeta$ $z=1$ con el simple poste de $1$ : $$\zeta(z)=\frac 1{z-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n\;(z-1)^n$$ con $\gamma_n$ el Stieltjes constantes y $\gamma_0=0.5772156649\cdots$ la famosa constante de Euler.
Para agilizar la evaluación de ver los diferentes enlaces de este hilo o en este debate.
