La evaluación de una Suma con un binomio

Question

Problema:

Evaluar para $n=11$$$\begin{align} \sin^{4n}\left(\frac{\pi}{4n}\right) + \cos^{4n}\left( \frac{\pi}{4n}\right) = \frac{1}{4^{2n-1}} \left[ \sum_{r=0}^{n-1} \binom{4n}{2r} \cos\left(1 - \frac{r}{n} \right) \pi \, + \frac{1}{2} \binom{4n}{2n} \right]. \end{align} $$

Lo siento por esta extraña pregunta. Vi esta fórmula aquí en el MSE, que es muy útil para una pregunta que necesita para resolver ($\sin^{4n}\frac{\pi}{4n} + \cos^{4n} \frac{\pi}{4n})$ para valores dados de $n$. Lamentablemente no sé cómo evaluar esta fórmula manualmente. Yo estaba esperando así el uso de Wolfram Alpha para evaluar esta para diferentes valores de $n$, pero fue incapaz de entrar en él correctamente. Yo estaría muy agradecido si alguien amablemente me muestran cómo introducir esta fórmula en Wolfram Alpha o resolver por $n=11$. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Con algunos trivial manipulación es straighforward para comprobar que sólo tenemos que calcular: $$ \sum_{r=0}^{2n}\binom{4n}{2r}\cos\frac{4\pi r}{n}=\text{Re}\sum_{r=0}^{2n}\binom{4n}{2r}\exp\left(8r\cdot\frac{2\pi i}{4n}\right).\tag{1} $$ Desde: $$ \sum_{r=0}^{2n}\binom{4n}{2r} z^{2r} = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{4n}\binom{4n}{k}\left(z^k+(-z)^k\right)=\frac{(1+z)^{4n}+(1-z)^{4n}}{2}\tag{2}$$ tomando $\omega=\exp\frac{2\pi i}{n}$ tenemos: $$ \sum_{r=0}^{2n}\binom{4n}{2r}\cos\frac{4\pi r}{n}=\text{Re}\left(\frac{(1+\omega)^{4n}+(1-\omega)^{4n}}{2}\right)\tag{3}$$ entonces, desde el $1\pm \omega = 2\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\exp\left(\pm\frac{\pi i}{n}\right)$, $$ \sum_{r=0}^{2n}\binom{4n}{2r}\cos\frac{4\pi r}{n} = \frac{1}{2}\left(2\cos\frac{\pi}{n}\right)^{4n}\left(\cos(4\pi)+\cos(-4\pi)\right)=\color{red}{\left(2\cos\frac{\pi}{n}\right)^{4n}}.\tag{4}$$

Answer 2

$\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\implies e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x$

$\displaystyle e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x,e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x$

$\displaystyle \left(2i\sin x\right)^{4n}+\left(2\cos x\right)^{4n}$ $\displaystyle =(e^{ix}+e^{-ix})^{4n}+(e^{ix}-e^{-ix})^{4n}$ $\displaystyle =2\sum_{r=0}^{2n}\binom{4n}{2r}(e^{ix})^{4n-2r}(e^{-ix})^{2r}$

$\displaystyle\implies16^n\left(\sin^{4n}x+\cos^{4n}x\right)$ $\displaystyle =2\sum_{r=0}^{2n}\binom{4n}{2r}e^{i4x(n-r)}$ $\displaystyle 2^{4n-1}\left(\sin^{4n}x+\cos^{4n}x\right)=\binom{4n}{2n}+\sum_{r=0}^{n-1}\left(\binom{4n}{2r}e^{i4x(n-r)}+\binom{4n}{4n-2r}e^{-i4x(n-r)}\right)$

Como $\binom NR=\binom N{N-R},$

$\displaystyle\implies2^{4n-1}\left(\sin^{4n}x+\cos^{4n}x\right)$ $\displaystyle =\binom{4n}{2n}+\sum_{r=0}^n\binom{4n}{2r}\{e^{i4x(n-r)}+e^{-i4x(n-r)}\}$

$\displaystyle\implies2^{4n-1}\left[\sin^{4n}x+\cos^{4n}x\right]=\binom{4n}{2n}+\sum_{r=0}^{n-1}\binom{4n}{2r}2\cos\{4(n-r)x\}$

Set $x=\dfrac\pi{4n}$

Se puede llevar a casa desde aquí?

Answer 3

si usted significaba $\cos(1-4n/2r)*\pi$, entonces el uso de Arce tengo

parece que para mí que no se puede simplificar la respuesta.

Si usted significaba $\cos[(1-4n/2r)*\pi]$, entonces aquí está el resultado