Si a,b,c $>0$ e a+b+c=1, encontrar el valor máximo / mínimo de la siguiente

Question

Si a,b,c $>0$ e a+b+c=1, encontrar el valor máximo / mínimo de los siguientes :

(a) abc

(b) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

(c) $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})$

Con A. M - GM. la desigualdad en a,b,c :

$A. M \geq G. M $

$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

$\Rightarrow \frac{1}{27} \geq abc $

Si vamos a utilizar : sea a =$\frac{1}{2},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{6}$ podemos resolver las desigualdades asumiendo estos valores de alguna manera. por favor, sugiera gracias.

Answer 1

Para (a), usted puede utilizar el AM-GM de la desigualdad $$ (abc)^{1/3}\leq\frac{1}{3}(a+b+c)=\frac{1}{3}\implica abc\leq\frac{1}{27}. $$ Para (b), el uso de la AM-GM de nuevo, el doble de este tiempo: $$ (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq3\sqrt[3]{abc}\times3\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=9\implies\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9. $$ Para (c), multiplicar el LHS $$ 1+T_1+T_2+T_3\quad\text{donde}\quad T_1=\frac{1}{abc},\\ T_2=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\quad T_3=\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right). $$ El uso de (a) y (b), que de hecho han creado el mínimo para $T_1$ y $T_2$ ($27$ y $9$, respectivamente). Para $T_3$, puede utilizar $$ \frac{1}{3}T_3\geq(ab+bc+ca)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\geq 9\implica T_3\geq 27. $$ La primera desigualdad es debido a que $ab+bc+ca\leq\frac{1}{3}(a+b+c)^2$ (esta es la verdadera porque es equivalente a $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$) y la segunda desigualdad anterior sigue en la misma manera como lo hemos hecho en (b).

Answer 2

Como ya se ha comentado, max (b) y (c) no existen: simplemente deje $a\to 0$.

Min (b) se logra en $a=b=c=\frac13$ por AM-GM $$\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge 3\frac1{\sqrt[3]{abc}}\ge 9$$ y por (un).

Para encontrar min (c) utilizamos un truco: $$1+\frac{1}{a}=1+\frac1{3a}+\frac{1}{3a}+\frac1{3a}\ge \frac{4}{\sqrt[4]{3^3a^3}}.$$ Así $$\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right)\left(1+\frac1c\right)\ge \frac{4^3}{\sqrt[4]{3^9(abc)^3}}\ge {4^3}.$$ La igualdad se alcanza en $a=b=c=\frac13$.

Answer 3

b) usted puede usar AM-HM desigualdad es decir, $\frac{a+b+c}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$ esto es equivalente a $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9$ c) puede utilizar AM-GM hemos $1+1/a\geq \frac{2}{\sqrt{abc}}$ etc tenemos por mulitplying $(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)\geq \frac{8}{\sqrt{abc}}\geq 8\sqrt{27}$