¿Cómo encontrar $W^{\perp}$ en el siguiente espacio del polinomio producto interno?

Question

$P3(\Bbb{R})$% Del producto interno$\langle p(x),q(x)\rangle=\int^1{-1} p(x)q(x)dx$de considerar y que$W={ p(x)\in P_3(\Bbb{R})|p(0)=p'(0)=p''(0)=0}$. ¿Cómo encontrar$W^{\perp}$?

Vamos a configurar $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$. Desde $p(0)=p'(0)=p''(0)=0$, $p(x)=dx^3$ %. Para encontrar el $q(x)$, tenemos que encontrar el $q(x)$ $\langle p(x),q(x)\rangle=\int^1{-1} p(x)q(x)dx=0$que. Sin embargo, el problema es si dejamos$q(x)=e+fx+gx^2+hx^3$y multiplicar por$p(x)$, entonces la posterior$\langle p(x),q(x)\rangle=\int^1{-1} p(x)q(x)dx=0$ serían irresoluble.

¿Alguien podría sugerir una solución válida?

Answer 1

Desde $\langle dx ^ 3, q\rangle = d \int^1_ {-1} (fx ^ 4 + hx ^ 6) \,dx=d\left (7\right de 5 + \frac {2 h} \frac {2f}) = 0$$% todo$d$, obtendrá$$\frac{2f}5+\frac{2h}7=0.\tag1$$en otras palabras,$W^{\bot}$es el conjunto de todos los polinomios$q$ satisfacer (1).

Answer 2

una base para el espacio de $W=\{ p(x)\in P_3(\Bbb{R})|p(0)=p'(0)=p''(0)=0\}$ $\{x^3\}.$ supongamos $a + bx + cx^2 + dx^3$ es ortogonal a $x^3,$
$$0=a \int_{-1}^1 x^3dx+b\int_{-1}^1 x^4 \, dx+ c\int_{-1}^1x^5 \, dx + d \int_{-1}^1x^6\, dx=\frac {2b}5+\frac{2d}7$$ eso significa que podemos tener $a, d$ arbitray y $b = -7, c = 5.$ que es una base para la $W^\perp$ $\{ 1, x^3, -7x + 5x^3\}$ de la dimensión de $3.$

Answer 3

Se detuvo demasiado pronto; o, tal vez usted se olvidó de dónde iba. Ya te estás poniendo sólo una condición lineal en la función original, usted debe esperar una sola condición lineal en el coeffs. Acaba de hacer la integración, y ajustar el resultado a cero.