Expresando la suma infinita 1 + 22 + 333 + 4444 +

Question

Me gustaría expresar

$$1+22+333+4444+ \cdots$$

usando $\Sigma$ y no tienen ni idea de por dónde empezar.

Después de $999999999$ viene el 10 $0$ s, luego 11 $1$ s.

Answer 1

Los términos de la secuencia son

$$a_n =\left(n-10\cdot\left\lfloor\frac{n}{10}\right\rfloor\right)\cdot\frac{10^{n}-1}{9}$$

la suma de su serie es $\infty$

Answer 2

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(n-10\cdot\left\lfloor\frac{n}{10}\right\rfloor\right)\cdot\frac{10^{n}-1}{9}$$

Answer 3

Considerando $$4444 = 4*10^{3} + 4*10^{2} + 4*10^{1} + 4*10^{0}$$

Creo que una doble suma y un módulo es mucho más intuitivo: $$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{n}(n \text{ mod } 10)*10^{m-1}$$

Answer 4

He derivado la fórmula que da la suma de las series para $n$ términos. Por ejemplo, la serie:

$$1 + 22 + 333 + 4444,$$ tiene cuatro términos.

Dejemos que $n$ sea el número de términos. Sea $S_n$ sea la suma de los $n$ términos. Entonces

$$S_n = \frac{1}{1458}\left((18n-2)10^{n+1} -81n^2 -81n + 20 \right)$$