¿Qué tamaño tiene mi pizza, si conozco el tamaño de sus porciones?

Question

Compré una caja de pizza congelada: ocho porciones, horneadas y luego congeladas, apiladas en una caja. El envase me aseguraba que tenía una pizza de 18 pulgadas de diámetro. Eso me hizo pensar: ¿cómo sé que no están mintiendo?

Supongamos (aunque esto puede no ser cierto para la pizza) que tenemos un círculo [1] $S=\partial D$ centrado en un punto $O$ y cuatro acordes (segmentos de línea cerrados debidamente encajados en $D$ ) que se cruzan en un solo punto $C$ . (Posiblemente $C=O$ .) Se puede suponer también (porque parece razonable para la pizza) que los ángulos realizados entre las cuerdas adyacentes (en el orden cíclico alrededor de $C$ ) está entre $30^\circ$ y $60^\circ$ y que la distancia entre $C$ y $O$ es menor que la distancia entre $C$ y $S$ .

¿Es posible utilizar las longitudes de los segmentos de $C$ a $S$ y los ángulos entre segmentos adyacentes para encontrar el diámetro de $D$ ? (Si no es así, ¿sería posible si mis supuestos de "también puede suponer" se ajustaran un poco)? Si es así, ¿cómo?

(Por supuesto, es posible encontrar el diámetro midiendo las longitudes de las partes curvas de las porciones de pizza, sumándolas y dividiendo por $\pi$ . Pero me pregunto si hay una forma de hacerlo a partir de las longitudes laterales y los ángulos de las puntas de los trozos de pizza).

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[1] Círculo geométrico, es decir, el lugar de los puntos a cierta distancia de $O$ no sólo un círculo topológico.

Answer 1

Que a triángulo de la pizza sea la envolvente convexa de los vértices de una porción de pizza. El área de cualquier triángulo de pizza es un poco menor que el área de su porción de pizza, pero no tanto (sobre todo dada la condición de los ángulos). Es fácil calcular el área de un triángulo de pizza mediante el teorema del seno, así que un criterio sencillo viene dado por calcular la suma de las áreas de los triángulos de pizza y compararla con el área de un octógono regular inscrito en un círculo de diámetro $18$ pulgadas.

De todos modos, dados dos trozos de pizza opuestos no es difícil calcular el radio del disco del que han sido cortados, ya que dos trozos de pizza opuestos dan un cuadrilátero cíclico para el que no es difícil calcular las longitudes de los lados y el área dada $a,b,c,d,\theta$ :

por lo que el circunradio viene dado por La fórmula de Parameshvara :

$$ R = \frac{1}{4\Delta}\sqrt{(l_1 l_3+l_2 l_4)(l_1 l_2 + l_3 l_4)(l_1 l_4+l_2 l_3)} $$ donde $l_1,l_2,l_3,l_4$ son las longitudes de los lados del cuadrilátero cíclico representado anteriormente: se pueden calcular mediante el teorema del coseno. Observa también que Teorema de Ptolomeo da: $$l_1 l_3+l_2 l_4=(a+c)(b+d).$$

Otro posible enfoque es el siguiente. Tenemos: $$\text{pow}_\Gamma(C) = ac = bd = R^2-OC^2, $$ así que sólo tenemos que encontrar $OC^2$ . Si tomamos $M$ y $N$ como los puntos medios de las cuerdas en la imagen anterior, es trivial que $OC$ es el diámetro de la circunferencia de $CMN$ y podemos calcular el circunradio de $CMN$ a través del teorema del seno: $$\frac{OC}{2}=\frac{MN}{2\sin\theta}$$ entonces la longitud de $MN$ a través del teorema del coseno, por lo que: $$ OC^2 = \frac{1}{\sin^2\theta}\left(\left(\frac{a-c}{2}\right)^2+\left(\frac{b-d}{2}\right)^2-\frac{|a-c||b-d|}{2}\cos\theta\right) $$ y:

$$ R^2 = ac+\frac{1}{4\sin^2\theta}\left[(a-c)^2+(b-d)^2-2|a-c||b-d|\cos\theta\right].$$

Si no sabes qué parejas de cortes son "antípodas", pues no son difíciles de reconocer: los cortes antípodas deben tener el mismo ángulo $\theta$ y cumplir $ac=bd$ (el teorema de la cuerda de intersección).