Singularidad de duelos en una categoría Monoidal

Question

Dada un categoría monoidal del ${\cal C}$, y $X \in {\cal C}$, definimos un doble a la izquierda de $X$ a ser un objeto $X^$ tal que existen morfismos $\epsilon:X^ \otimes X \to I$ y $\eta:I \to X \otimes X^*$, $I$ la identidad de la categoría, que satisface ciertos axiomas ver aquí para más detalles.

Cuando es la izquierda de una doble único hasta isomorfismo, y Cuándo es este isomorfismo único.

Answer 1

Siempre son isomorfos, y por un único isomorfismo que conserva la estructura de la dualidad (ver esta cuestión de la unicidad).

Supongamos $X^*$ $\hat{X}^*$ son dos diferentes izquierdo duales (con las correspondientes evaluaciones de $\epsilon, \hat\epsilon$ y coevaluations $\eta, \hat\eta$). Definir $f : \hat{X}^* \to X^*$ como el compuesto $$f = (\hat{\epsilon} \otimes 1) \circ (1 \otimes \eta) : \hat{X}^* \xrightarrow{1 \otimes \eta} \hat{X}^* \otimes X \otimes X^* \xrightarrow{\hat\epsilon \otimes 1} X^*$$ Del mismo modo definen $\hat{f} = (\epsilon \otimes 1) \circ (1 \otimes \hat{\eta})$. (En ambos casos me fui de la isomorphisms $I \otimes Y \cong Y \cong Y \otimes I$ y el asociador, pero si quería ser 100% exacta que debe incluir las mismas). Entonces es un trabajo tedioso pero completamente ejercicio mecánico para comprobar que $f$ $\hat{f}$ son inversos el uno al otro, porque de los dos axiomas (se aplican, respectivamente, a $X^*$$\hat{X}^*$) en la Wikipedia el artículo citado.