Si $C'$ es una subcategoría de $C$, ¿por qué puede $\mathrm{Hom}_C(X, Y)$ y $\mathrm{Hom}_{C'}(X, Y)$ ser diferente?

Question

Deje $C$ ser una categoría y $C'$ una subcategoría de $C$. Entonces, por la definición de una subcategoría, $$\mathrm{Hom}_{C'}(X, Y) \subseteq \mathrm{Hom}_C(X, Y)$$ for $X, Y$ in $C'$. My question is why it is possible that $\mathrm{Hom}_C(X, Y) \neq \mathrm{Hom}_{C'}(X, Y)$?

Deje $\mathsf{Mod}$ ser la categoría de todos los derechos $A$-módulos, donde $A$ $K$- álgebra y $K$ es un campo. Deje $\mathsf{mod}$ ser la subcategoría de $\mathsf{Mod}$ que consta de todos los finitely generado derecho $A$-módulos. Se dice que $$\mathrm{Hom}_{\mathsf{Mod}}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{\mathsf{mod}}(X, Y)$$ for any $X, Y$ in $\mathsf{mod}$. How to show that $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Mod}}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{\mathsf{mod}}(X, Y)$? Muchas gracias.

Answer 1

Ver la definición completa de la subcategoría. Si usted está describiendo la subcategoría por sólo restringe la clase de objetos, como se hace en el ejemplo que usted dio por imponer la "finitely generado", entonces usted está implícitamente la definición de un total subcategoría (no hay restricciones adicionales de morfismos). En otras palabras, no hay nada para probar la igualdad de Hom-conjuntos, es sólo implícita en la descripción.

Un ejemplo de no-completo subcategoría es la categoría de la asociativo $K$-álgebras como subcategoría de la categoría de los anillos: no sólo un $K$-álgebra a es un anillo que también debe ser un $K$-espacio vectorial (en forma compatible), pero también los morfismos de $K$-álgebras debe ser $K$-lineal. El último no es necesariamente el caso de un anillo de morfismos entre dos $K$-álgebras, así que uno puede hacerse estrictamente menor Hom-establece en la subcategoría.

Answer 2

Posiblemente mi ejemplo favorito es al $C'$ es la categoría de los anillos, y $C$ la subcategoría de los anillos con una identidad multiplicativa.

Tomar los anillos $$ A = \left\{ \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} : un \in \mathbf{Q} \right\}, \qquad B = \left\{ \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix} : a, b \in \mathbf{Q} \right\}. $$

Ambos tienen una identidad, que es $$ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ para $A$, y $$ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ para $B$.

A continuación, la inclusión mapa $$ A \B, \qquad \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ es una de morfismos en $C'$, pero no en $C$.

Answer 3

En primer lugar, si $C'$ es una subcategoría $C$$Hom_{C'}(X,Y)\subseteq Hom_C(X,Y)$, no la otra manera alrededor.

Si la igualdad se mantiene para todos los objetos de $X,Y$ $C'$ es un completo subcategoría de $C$. Este es el caso de las categorías de módulos que usted considere. Sin embargo, no hay ninguna razón para exigir que cualquier subcategoría ser una subcategoría. Por ejemplo, como el conjunto vacío está contenida en cualquier conjunto, por lo que es conveniente tener la categoría vacía (no hay objetos, no las flechas) para ser una subcategoría de cualquier categoría. Este no sería el caso si usted exigió a todas las subcategorías a ser completo. Hay muchos otros ejemplos en los que usted quiere ser capaz de considerar sólo algunos de los objetos de una determinada categoría y algunas de las flechas. De hecho, los objetos de una categoría son sólo para la decoración. Una categoría puede ser definido de un modo completamente de objetos de forma libre. Eso significa que lo que realmente cuenta en una categoría son las flechas, y así una subcategoría deben consiste en un subconjunto de la colección de las flechas, que en si mismo constituye una categoría con la misma composición de la regla como en el ambiente de la categoría.

EDIT: Gracias Marc van Leeuwen para la corrección de la categoría vacía es siempre un completo subcategoría. Lo que yo tenía en mente es la de cada categoría $C$ hay una natural subcategoría que consta de todos los objetos de la categoría y sólo la identidad de flechas.