Este es el método que se conoce como parabólico de inducción. Es la manera estándar de abordar el problema de la clasificación de las representaciones de (los puntos racionales de) algebraica de los grupos. Sospecho que usted no está familiarizado con la teoría algebraica de los grupos, así que me explícitamente hablar lineal general de los grupos sobre campos finitos. Para simplificar la notación, voy a corregir un $q=p^n$ y escribir $G_n=GL_n(\mathbb{F}_q)$.
Dentro de $G_n$, no son naturales ocurrencias de los subgrupos $G_{n_1}\times\cdots\times G_{n_r}$ donde $\sum_{i=1}^r n_i=n$, donde los grupos son el bloque-diagonal incrustaciones (y su $G_n$-conjugados, pero podemos simplemente olvidarse de esto y se supone que todo está en el estándar de bloque-diagonal). Estos son Levi subgrupos. En general, la idea de un Levi subgrupo de un reductor de grupo (algo que se comporta razonablemente de manera similar a $GL_n$) es que es un subgrupo con una pequeña "semisimple rango", que de alguna manera es una medida de la complejidad esperada de la teoría de la representación. Así que espero que clasificar las representaciones irreducibles de estos Levi subgrupos -- que todo lo externo tensor de productos de irreductible representaciones de los $G_{n_i}$ factores -- y, a continuación, tratar de construir representaciones de $G_n$ a partir de estos.
Hay una manera natural de hacer esto. A un Levi subgrupo $M=G_{n_1}\times\cdots\times G_{n_r}$, hay un mayor parabólico subgrupo $P$ que contiene $M$ como un cociente de una manera natural -- $P$ tiene un unipotentes radicales $N$, que es un subgrupo normal, y $P=MN$. Entonces uno puede ver una representación irreducible $\sigma$ $M$ como una representación irreducible de $P$ componiendo con la proyección de $P\rightarrow N$. La razón para esto es que $P$ es ahora bastante grande a un subgrupo de $G_n$ que uno puede esperar para describir la irreductible subquotients de la inducida por la representación de $Ind_P^G\ \sigma$. De manera explícita en su caso, la parabólica, subgrupo $P$ asociado a $M=G_{n_1}\times\cdots\times G_{n_r}$ es el grupo de la parte superior triangular de matrices obtenidas por "llenar" la $0$ entradas por encima del bloque-diagonal de $M$. En principio, una vez que sabes las representaciones de $M$, usted debería ser capaz de utilizar el carácter de la teoría para describir la irreductible subquotients de esta inducida por la representación.
Puede que entonces la esperanza de que, después de haber hecho esto, hemos obtenido todas las representaciones de $G_n$, lo que significa que (después de bastante trabajo) la clasificación se reduce a la comprensión de las representaciones de $\mathbb{F}_q^\times$. Desafortunadamente, este no es el caso. Hay cuspidal representaciones, que por definición son aquellas representaciones que no son obtenidos por el proceso que acabo de describir. De hecho, es realmente la clasificación de la cuspidal las representaciones, que es la parte más difícil de la clasificación.
Creo que Dietrich vínculo debe ser una buena referencia para este, aunque no puedo decir que nunca he leído. Básicamente, cualquier acercamiento a la construcción de las representaciones de $G_n$ procederá por parabólico de inducción (con la excepción del caso específico de los métodos de confiar en isomorphisms, por ejemplo, escribir $GL_2(\mathbf{F}_2)\simeq S_6$ y, a continuación, la clasificación de las representaciones de esta manera). Te gustaría ser el mejor de la primera tratando de entender la clasificación de las representaciones de la $GL_2$, lo que será más sencillo ya que hay una sola Levi subgrupo (hasta conjugacy) que es abelian.
