Las matemáticas modernas caracterizan las transformaciones en términos de las propiedades geométricas que se conservan cuando las transformaciones se aplican a las características.
Un ejemplo consagrado es el conjunto de Transformaciones euclidianas del plano: son las que conservan todas las distancias y los ángulos (no orientados). El estudio de este grupo de transformaciones es el objeto de la geometría euclidiana y la fuente de todos esos teoremas de congruencia sobre los triángulos que todos aprendemos en la escuela. En resulta que estas transformaciones tienen descripciones relativamente sencillas y esclarecedoras. Por ejemplo, consisten en todas las traslaciones, rotaciones, rotaciones impropias (una rotación seguida de una reflexión) y traslaciones oblicuas (una traslación seguida de una reflexión). También pueden caracterizarse como todas las transformaciones que se pueden realizar aplicando un conjunto de reflexiones. La cuestión es que estas descripciones del grupo euclidiano son derivado de su caracterización como preservador de la distancia y no al revés.
Para la cartografía, el análisis y la georreferenciación, solemos valorar un conjunto concreto de propiedades por encima de todas las demás: el área cuando se calculan las áreas, la orientación cuando se calculan las direcciones, la distancia cuando se calculan las distancias, los ángulos (locales) cuando se calculan los ángulos, la similitud cuando se comparan las formas, la incidencia y el interior frente a fuera al realizar comparaciones topológicas, y así sucesivamente. En cada caso existe un grupo de transformaciones invertibles del plano que preserva las propiedades deseadas.
No hay nada profundo en esto: si se especifica cualquier propiedad de las características en el plano, entonces cuando la transformación F los conserva y la transformación G los conserva, la transformación GF ( F seguido de G ) también debe conservarlos. Siempre hay una transformación que preservará cualquier propiedad: la transformación de identidad (todo se mantiene). Así que se forma la colección de todas esas transformaciones. Si se insiste en que sean invertibles -es decir, que puedan deshacerse- entonces esta colección forma un objeto matemático llamado "grupo". La parte profunda es que cualquier grupo de transformaciones puede concebirse como definir una "propiedad" de los rasgos en el plano. Un matemático moderno diría, por ejemplo, que la "forma" es lo que conserva el conjunto de transformaciones euclidianas y las isotopías (véase más adelante). Ésa es la definición de "forma".
Aunque lo anterior responde a la pregunta usted elige entre las transformaciones que preservan las propiedades que importan para su análisis --esquiva la cuestión más práctica de cómo encontrar estos grupos de transformaciones y cómo calcular con ellos. He aquí una guía parcial de esta colección organizada por la propiedad que se pretende preservar. Describo cada grupo, cómo calcular con él y cómo se suele utilizar en la práctica.
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Tamaño y orientación. Este es el grupo de traducciones. Una traslación viene dada por un vector (e, f); actúa sobre un punto cartesiano arbitrario (x, y) enviándolo a (x + e, y + f). Las traslaciones desplazan los elementos sin rotarlos ni cambiar su tamaño. Cuando se combina con las isotopías (véase más adelante), este grupo es el que hace que los mapas se desplacen y se amplíen. A menudo se utiliza para proporcionar "coordenadas mundiales" para las imágenes (donde la rotación no es necesaria).
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Tamaño (distancia) . Este es el grupo de transformaciones euclidianas, o isometrías. Incluye las traslaciones, así como todas las reflexiones y rotaciones. Una rotación a través del ángulo q envía (x, y) a (x * cos(q) - y * sin(q), x * sin(q) + y * cos(q)). Este es el grupo que hay que utilizar cuando se comparan formas y se estudian las propiedades euclidianas habituales de la forma, incluidas la longitud y la curvatura.
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Forma . Además de las transformaciones euclidianas, este grupo incluye todas las isotopos : estos equivalen a un reescalado uniforme con respecto a un punto central. Por ejemplo, una isotética con respecto al origen (0, 0) envía (x, y) a (a*x, a*y) para algún número distinto de cero a . Este grupo se utiliza cuando sólo hay que comparar longitudes y áreas en lugar de medirlas en una escala absoluta.
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Incidencia . Estos son los transformaciones proyectivas. Corresponden a lo que registra una cámara cuando ve elementos de una superficie plana en tres dimensiones: todas las líneas se representan como líneas, pero pueden escorzarse y girarse. Todas las anteriores son transformaciones proyectivas, pero existen algunas adicionales. La más general viene dada por una colección de números (a, b, c, d, e, f, g, h) y envía (x, y) al valor (u, v) con u = (a*x + b*y + c)/(g*x + h*y + 1) y v = (d*x + e*y + f)/(g*x + h*y + 1). Existe una ligera restricción en los posibles valores de (a, b, ..., h). Las transformaciones proyectivas son evidentemente útiles para volver a renderizar mapas hechos a partir de cámaras (como fotos aéreas o de satélite) para presentarlos desde puntos de vista alternativos. Los formatos más generales de "archivo mundial" utilizados para proporcionar coordenadas para imágenes o conjuntos de datos rasterizados especifican las transformaciones proyectivas y suelen utilizar los números (a, b, ..., h) para hacerlo.
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Área . Algunas transformaciones proyectivas preservan áreas: la transformaciones afines especiales . Son los que se pueden escribir en términos de cuatro números a, b, c, d para los que a*d - b*c es +1 o -1. Envían (x, y) a (a*x + b*y), (c*x + d*y). Son útiles para convertir entre imágenes de proyecciones que preservan el área. Por ejemplo, dos proyecciones cilíndricas de igual área de un elipsoide difieren por una transformación afín especial.
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Ángulo. Estos son los conformal transformaciones. A diferencia de las anteriores, no pueden parametrizarse con un conjunto finito de números reales. Las transformaciones conformes se entienden mejor como transformaciones de la complejo números, el analítica de los mismos. Son precisamente las que tienen una derivada compleja. Todas tienen fórmulas en términos de series de potencias e integrales. A menudo se obtienen como soluciones de ecuaciones diferenciales. Como la preservación de los ángulos tiende a representar las formas con bastante precisión (al menos las formas pequeñas), las transformaciones conformes se denominan a veces (incorrectamente) "preservadoras de la forma". Sin embargo, hay muchas más transformaciones conformes que euclidianas, por lo que ofrecen más flexibilidad a la hora de transformar mapas que sólo las rotaciones y las traslaciones. El (pequeño) precio que se paga es que las formas más grandes se distorsionan.
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Arcos circulares (incluidos los arcos de círculos de "radio infinito": líneas rectas). Estos son los Transformaciones de Mobius. En términos del número complejo z = x + y*i (con i^2 = -1), todos ellos pueden escribirse en términos de cuatro números complejos a, b, c y d con a*d - b*c = 1; z se envía al número complejo (a*z + b)/(c*z + d). Las transformaciones de Mobius son útiles cuando se trabaja con configuraciones de características circulares y lineales. (Por ejemplo, las imágenes de las líneas de latitud y longitud en una proyección estereográfica de la esfera son porciones de círculos y líneas en el plano). Al ser analíticas complejas (excepto cuando c*z + d = 0), son conformes en casi todas partes.
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Incidencia, cercanía, y interior/exterior. Estos son los transformaciones continuas. Muchas ni siquiera pueden escribirse en términos de fórmulas: su cualidad definitoria es que alrededor de cualquier punto (x, y) siempre habrá infinitos puntos (x', y') cercanos a él que no se separan mucho cuando se transforman. Las transformaciones continuas (invertibles) proporcionan una forma enormemente rica y flexible de convertir casi cualquier mapa en cualquier otra cosa, manteniendo al mismo tiempo importantes relaciones entre las características, como la incidencia, la intersección, la disociación y la contención. Esto permite simplificar estos análisis y hacerlos más eficaces.
Esta lista no es en absoluto exhaustiva, pero cubre la mayoría de los grupos de transformaciones que se utilizan habitualmente en dos dimensiones.
Transformaciones polinómicas no encajan en esta lista por varias razones. En primer lugar, la mayoría de las funciones polinómicas no son invertibles, por lo que los polinomios tienden a ser útiles sólo dentro de regiones acotadas del plano. En segundo lugar, los polinomios no conservan ninguna propiedad útil en la práctica. (Hay un sentido más profundo en el que preservan algo, pero eso es una cuestión formal). algebraico estructura que rara vez tiene una aplicación directa en los SIG o la geografía). Las funciones polinómicas se utilizan únicamente porque son relativamente sencillas de especificar y calcular, ya que pueden calcularse mediante un número reducido de multiplicaciones y sumas. Hay suficientes funciones polinómicas que pueden utilizarse como una forma relativamente flexible de aproximado cualquier función continua ( q.v. ), superando así la dificultad de que no existen fórmulas exactas para la mayoría de las funciones continuas.
Por lo general, las transformaciones polinómicas no se utilizan por sí mismas, sino como bloques de construcción de varios tipos de splines. Un spline es localmente polinómico, pero se permite que sus coeficientes cambien de forma controlada en todo el plano. Las splines se utilizan, por ejemplo, para "deformar" una imagen para que se corresponda con otra. De este modo, se puede hacer que cualquier mapa se corresponda tanto como se quiera con cualquier otro mapa de las mismas características, sin importar lo arbitraria que sea la distorsión.
