Si la pregunta es "¿Qué es tan especial acerca de esto?", que me podrían decir "¿por Qué el concepto de la materia?", Yo podría hablar de que el anillo cociente de un anillo conmutativo con unidad por un primer ideal es una parte integral de dominio.
Sin embargo, más tarde se ve como si tal vez lo que quiere decir es que estamos tratando de entender lo que la definición dice.
El conjunto de todos los múltiplos de $10$ es un ideal en el $\mathbb Z$. Eso significa que si $a$ es un múltiplo de a$10$$b\in\mathbb Z$, $ab$ es un múltiplo de a $10$.
Pero ese ideal no es un alojamiento ideal: $2$ $5$ ese no es el ideal, sino $2\times5$ es. La definición nos dice que si se tratara de un primer ideal, entonces si $2\times 5$ es en el ideal, entonces cualquiera de las $2$ o $5$ es en el ideal. Eso significa que si $2\times5$ es un múltiplo de a $10$ entonces $2$ o $5$ es un múltiplo de a $10$. Pero eso no es cierto, por lo que este ideal no es primo.
A mí me parece que estás confundido acerca de cuantificadores.
$a,b$ son siempre elementos de $R$, a pesar de que el primer ideal de definición no especifica que uno tiene que ser en $J$
La definición de "ideal" no dice nada para el efecto de que o $a$ o $b$ ""$J$. Se dice que si uno de ellos es en $J$, luego de que su producto tiene que ser en $J$. La definición de "prime ideal" también incluye, en el que se dice que es un ideal.
Una declaración que dice que si una de las dos cosas es en $J$, entonces también lo es su producto.
El otro dice que si su producto es de $J$, entonces por lo tanto es uno de ellos.
Hay una gran diferencia entre "Si P entonces Q" y "Si Q entonces P".
Ahora consideremos el conjunto de todos los múltiplos de $11$. Que también es ideal, ya que si sólo uno de los $a,b$ es un múltiplo de a $11$, entonces también lo es $ab$. Pero esta vez no puede encontrar dos números de $a,b$ que no múltiplos de $11$, pero para los que $ab$ es un múltiplo de a $11$. Con $10$ que somos capaces de hacer, que sólo por factoring $10$$2\times5$, y podríamos hacer que debido a $10$ es no prime. El conjunto de todos los múltiplos de un número primo es un alojamiento ideal en $\mathbb Z$; el conjunto de todos los múltiplos de un número compuesto (como $10$) no lo es. Es fácil ver por qué este último tipo no es un alojamiento ideal, tal como lo hicimos anteriormente. La otra declaración, que si un número es primo, entonces divide a un producto de $ab$ sólo si se divide el bien $a$ o $b$, es un poco más de trabajo para probar, y es llamado Euclides del lexema.
