Sabemos que los axiomas ZFC definan la clase primaria asociada a ellos. Y podemos extender la firma a un símbolo de la relación binaria P y añadir un axioma definitorio que dice que P es la relación de subconjunto. Así, la relación de subconjunto es al menos una clase de pseudo-primaria. Mi pregunta es, ¿es también una clase de primaria?
Respuesta
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Mike Haskel
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Creo que no es una clase de primaria. Yo esbozo una prueba, a continuación, pero no ha comprobado en detalle una pieza importante. Yo podría volver y verificar la información, si tengo tiempo.
En el lenguaje de $L$ contiene sólo $\subseteq$, vamos a $T$ ser la teoría que afirme que el $\subseteq$:
- es un entramado,
- tiene un límite inferior, pero no hay límite superior,
- tiene relación complementa,
- es atómica (en el que todo tiene un átomo por debajo de ella),
- tiene una infinidad de átomos.
Claramente, el $L$-reducto de ZFC contiene $T$. Voy a demostrar que
- $T$ es completa, y
- $T$ tiene un modelo no isomorfo al reducto de cualquier modelo de ZFC.
Integridad
Tenga en cuenta que, en $T$, finito (incluyendo el 0-ary) los sindicatos y finito (salvo el 0-ary) intersecciones, así complemento relativo son definidos, por lo que bien podríamos incluir en $L$ y expandir $T$ respectivamente. Podemos igualmente expandir $L$ $T$ con los predicados $|A| = n$ para cada número natural $n$, que se define como diciendo $A$ se extiende exactamente $n$ átomos. Un estándar de ida y vuelta argumento debe verificar que esta teoría es completa y elimina los cuantificadores (en la ampliación de la $L$). Yo no revisar en detalle que el de ida-y-funciona como esperaba.
Modelo de $T$ que no es un reducto
Revisión de un conjunto infinito $X$, y deje $M$ $L$- estructura compuesta de la finitos subconjuntos de a$X$, $\subseteq$ interpretarse como de costumbre subconjunto relación. Entonces $M \models T$. $M$ no puede ser el reducto de un modelo de ZFC, sin embargo, ya que cualquier modelo de ZFC contiene un conjunto infinito (y, por tanto, un conjunto de extender infinitamente muchos átomos).
