¿Cómo mostrar que esta función está aumentando?

Question

Defina la función $$f(\alpha)=\frac{-(4-5\alpha-4\alpha^{2})+\sqrt{32\alpha^{3}+\alpha^{2}-40\alpha+16}}{(1-2\alpha)\alpha}=\frac{-(4-5\alpha-4\alpha^{2})+\sqrt{(4-5\alpha-4\alpha^{2})^{2}+8\alpha^2(1+\alpha)(1-2\alpha)}}{(1-2\alpha)\alpha}$$ donde $\alpha \in (0,\frac{1}{2})$, en la situación límite, $\alpha$ puede tender a $0$ o $0.5$.

Puedo verificar que:

(1) $f(\alpha)\geq 0$ siempre se cumple cuando $\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

(2) Usando la regla de L'Hôpital para mostrar que $f(0)=0$ y $f(\frac{1}{2})=6$

Puedo graficar esta función a través de MATLAB y observar que esta función es creciente cuando $\alpha \in [0,\frac{1}{2}]$.

Mi objetivo es probar que $f(\alpha)$ es creciente en $\alpha \in [0,\frac{1}{2}]$, el gráfico geométrico es simple como el siguiente pero la verificación de la creciente no es fácil. ¿Cómo mostrarlo?

Answer 1

Aquí tienes una prueba alternativa. Dado que tu función es un poco complicada, he optado por hacer esto utilizando una función para calcular bases de Gröbner en Mathematica. El cálculo de bases de Gröbner definitivamente puede hacerse a mano. Sin embargo, esta prueba también depende de tu capacidad para encontrar raíces de un polinomio de una sola variable. Como se mencionó anteriormente, $f$ es continuamente diferenciable en $(0, 1/2)$, así que primero probamos $f'$ en algún punto de $(0, 1/2)$. Por ejemplo, $$f'\left(\frac{1}{4}\right) = 8\left(7-\frac{67}{\sqrt{105}}\right)\approx 3.69 > 0$$ Por lo tanto, dado que $f'$ es continua en $(0, 1/2)$, si $f'(x) < 0$ para algún $x\in (0, 1/2)$, debe existir algún $x'$ entre $x$ y $1/4$ donde $f'(x') = 0$. Ahora, solo nos queda verificar las raíces de $f'$ en $(0, 1/2)$. Si definimos $$s = \sqrt{32\alpha^3+\alpha^2-40\alpha+16}$$ entonces tenemos $$f'(\alpha) = \frac{-96 \alpha ^4+46 \alpha ^3+41 \alpha ^2-20 \alpha +4 \alpha s^2-s^2+14 \alpha ^2 s-16 \alpha s+4 s}{\alpha ^2 (2 \alpha -1)^2 s}$$ Para confirmar que esto, de hecho, existe para todo $\alpha\in (0, 1/2)$, podemos encontrar el $\alpha$ donde $s = 0$ (aproximadamente son $-1.295$, $0.518$ y $0.746$, así que estamos bien). Cualquier punto $(\alpha, s)$ donde $f'(\alpha) = 0$ estará contenido en la intersección de los conjuntos de ceros de los polinomios $$s^2-(32\alpha^3+\alpha^2-40\alpha+16)$$ y $$-96 \alpha ^4+46 \alpha ^3+41 \alpha ^2-20 \alpha +4 \alpha s^2-s^2+14 \alpha ^2 s-16 \alpha s+4 s$$ Utilizamos un orden de eliminación para deshacernos de $s:

GroebnerBasis[{2 (9 a^3 + 16 a^4 + a (42 - 8 s) + 2 (-4 + s) + a^2 (-60 + 7 s)), -16 + 40 a - a^2 - 32 a^3 + s^2}, {a}, {s}]

y entonces nos queda la salida

{-4 a^2 + 24 a^3 - 29 a^4 - 76 a^5 + 212 a^6 - 160 a^7 + 32 a^8}

Esto nos dice que el único $\alpha$ que satisface $f'(\alpha) = 0$ son las raíces de $$32\alpha^8-160\alpha^7+212\alpha^6-76\alpha^5-29\alpha^4+24\alpha^3-4\alpha^2 = \alpha^2(2\alpha-1)^2(8\alpha^4-32\alpha^3+19\alpha^2+8\alpha-4)$$ Ese último factor tiene una raíz en $\alpha\approx 0.361$, pero podemos verificar $f'$ en este punto para determinar que en realidad no es una raíz de $f'$. Ninguna otra raíz de este polinomio cae en $(0, 1/2)$, por lo que $f'$ debe ser positiva en todas partes en este intervalo, lo que implica que $f$ es creciente en $(0, 1/2)$.