Está demostrando "no $A \iff$ $B$" de la misma como la demostración de $A \iff B$?

Question

Está demostrando "no $A \iff$ $B$" de la misma como la demostración de $A \iff B$?

Me pregunto porque estoy buscando en una declaración en mi libro de la forma $A \iff B$ sin embargo, la prueba demuestra que no $A \iff$ $B$ y luego dice que es completa.

Así que yo creo que sería el mismo, pero no sé exactamente a ver por qué.

Alguien que me explique por favor?

Answer 1

Voy a asumir que usted sabe el contrapositivo: prueba de $p\rightarrow q$ es la misma como la demostración de $\neg q \rightarrow \neg p$.

Con esto, es fácil:

$$(p\iff q) \equiv ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p))\equiv ((\neg q\rightarrow \neg p)\wedge (\neg p\rightarrow \neg q))\equiv (\neg q \iff \neg p)$$

Answer 2

Piénsalo de esta manera: $A\iff B$ es de dos declaraciones: $A\implies B$$B\implies A$.

El uso de prime para indicar "no", por contraposición, tenemos $B'\implies A'$$A'\implies B'$. Por lo tanto $A'\iff B'$.

Dado que esta prueba va en la otra dirección, tenemos $(A\iff B)\iff (A'\iff B')$

Answer 3

$$\begin{array}{c c|c| c} A & B & \lnot A\iff\lnot B & A\iff B \\ \hline \bot & \bot & \top\iff\top & \bot\iff\bot \\ \bot & \top & \top\iff\bot & \bot\iff\top \\ \top & \bot & \bot\iff\top & \top\iff\bot \\ \top & \top & \bot\iff\bot & \top\iff\top \\ \end{array}$$

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