Usted tiene el derecho Lema de Zorn. El parcial de los pedidos que considerar en la aplicación de Zorn usualmente consisten de subconjuntos del objeto que estamos tratando de construir, y el máximo de elementos son completados los objetos.
El ejemplo estándar es bases de un espacio vectorial $V$. Para hacer las cosas interesantes, supongamos $V$ es "grande" - es decir, de infinitas dimensiones (= no finito). ¿Cómo vamos a construir una base para $V$?
Utilizamos Zorn. Aquí nuestro poset $\mathbb{P}_V$ se compone de todos los conjuntos linealmente independientes, ordenado por "$\subseteq$". Si tengo una cadena de conjuntos linealmente independientes, su unión es linealmente independiente (esto requiere que forman una cadena en$\subseteq$ -, obviamente, la unión de conjuntos linealmente independientes no es, en general, son linealmente independientes); esto significa que $\mathbb{P}_V$ satisface las hipótesis del lema de Zorn, ya que la unión de una cadena es una cota superior de la cadena. Y esto significa que hay un elemento maximal de a $\mathbb{P}_V$. No es difícil demostrar que una máxima linealmente independientes conjunto es una base, por lo que hemos demostrado que todo espacio vectorial tiene una base. (Tenga en cuenta que Zorn no dice nada acerca de la única máxima elementos, simplemente que hay al menos un elemento maximal - de hecho, normalmente, habrá un montón de máxima elementos, como en este caso).
¿Ves cómo utilizar razonamiento similar aquí? (Nota: tengo la sospecha de "base" debe ser "ortonormales base".)
Por cierto, la declaración de "Todo espacio vectorial tiene una base" también es equivalente al axioma de elección, y de ahí que el lema de Zorn; la dirección difícil fue demostrado por Andreas Blass.
Como para motivar el lema de Zorn, tienes razón, es a menudo cae en los libros de texto del aire. Y es muy raro; no hay un estándar de broma que "El axioma de elección es obviamente verdadero, el principio de orden es obviamente falso, y que puede decir sobre el lema de Zorn" (en realidad los tres declaraciones son equivalentes). La prueba del lema de Zorn es definitivamente no trivial; ver aquí. Así que a menudo se utiliza como una caja negra, porque es extremadamente útil.
