Minimizadores de distancia en $L^1$ y $L^{\infty}$

Question

Si $H$ es un espacio de Hilbert, tenemos la Teorema de la proyección de Hilbert que nos dice que dado un subconjunto no vacío, cerrado y convexo $K \subset H$ y un punto $x \in H$ hay un punto único $y \in K$ que minimiza $\lVert x-y \rVert$ .

En el $L^{p}(X,\mathcal{X},\mu)$ espacios, para $1 < p < \infty$ obtenemos el mismo resultado, aunque estos no son espacios de Hilbert para $p\neq 2$ (suponiendo que $(X,\mathcal{X})$ es suficientemente no trivial). Esto se puede demostrar utilizando las desigualdades de Hanner.

Me interesa el caso de $L^1$ o $L^\infty$ . Es fácil construir ejemplos en los que existen minimizadores de distancia (en algún subconjunto cerrado, convexo y no vacío), pero no son únicos. Sin embargo, me pregunto si la existencia también puede fallar. He pensado bastante en esto, y he intentado buscar en Internet, pero no he podido resolver esta cuestión.

¿Alguien puede compartir alguna idea? Gracias.

Answer 1

Este es un ejemplo en $L^1[0,1]$ . Sea $K$ sea el conjunto de funciones $f\in L^1[0,1]$ tal que $\int_0^1 xf(x)\,dx=0$ . Se trata de un subespacio cerrado de $L^1$ . Considere la distancia de $g(x)=1$ a $K$ . Para cualquier $f\in K$ tenemos $$ \left|\int_0^1 x(f(x)-1)\,dx \right| = \int_0^1 x\,dx =\frac12 \tag{1} $$ Desde $x<1$ a.e., se deduce que $$ \int_0^1 |f(x)-1|\,dx > \int_0^1 x|f(x)-1|\,dx \ge \frac12 \tag{2} $$ Por otro lado, la secuencia $$ f_n(x) = 1 - \frac{n^2}{2n-1}\chi_{[1-1/n,1]} \tag{3} $$ pertenece a $K$ y satisface $\|f_n-g\|_{L^1}\to \frac12$ . Por lo tanto, $\operatorname{dist}(g,K)=1/2$ y este distancia no se alcanza.

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No tengo un ejemplo explícito en $L^\infty$ pero como $L^\infty$ contiene una copia isométrica de cada espacio de Banach separable, se puede utilizar una incrustación isométrica $\phi : L^1\to L^\infty$ para producir un ejemplo implícito: $\phi(g)$ y $\phi(K)$ . Desde $K$ es un espacio métrico completo, su imagen $\phi(K)$ es un subespacio cerrado de $L^\infty$ .