Cuando la convergencia en la distribución implica una convergencia estable

Question

En un Correo electrónico: He pedido ayuda para aclarar una propiedad de la convergencia estable en la distribución:

Definición

Sea $X_n$ sea una secuencia de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ con valor en $\mathbb{R}^N$ . Decimos que la secuencia $X_n$ converge de forma estable en la distribución con límite $X$ , escrito $X_n\stackrel{\text{st}}{\longrightarrow} X$ si y sólo si si, para cualquier función continua acotada $f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}$ y para cualquier $\mathcal{F}$ -variable aleatoria acotada y medible $W$ , sucede que: $$ \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}[f(X_n)\,W]=\mathbb{E}[f(X)\,W]. $$

Lo que necesito probar ahora es lo siguiente:

Supongamos que $$ (Y_n,Z)\stackrel{\text{d}}{\longrightarrow}(Y,Z), $$

para toda variable aleatoria medible $Z$ entonces

$$ (Y_n,Z)\stackrel{\text{st}}{\longrightarrow}(Y,Z) $$ para todas las variables aleatorias mensurables $Z$ . Así que necesito demostrar que, para cualquier función continua acotada $f$ y para cualquier $Z$ sostiene que $$ \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}[f(Y_n,Z)\,W]=\mathbb{E}[f(Y,Z)\,W] $$ para todas las variables aleatorias acotadas $W$ .

Lo intenté sin éxito con Portmanteau y el teorema de continuidad de Levy

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En la práctica estoy intentando demostrar esta proposición del documento mediante Podolskij y Vetter :

Hice este razonamiento para (1)=>(3), pero no estoy tan seguro de que sea correcto.

Answer 1

Lo que sugería en el comentario era la siguiente idea: por Portmanteau $$ (Y_n,Z)\stackrel{\text{d}}{\longrightarrow}(Y,Z), $$ IFF $$ \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}[f(X_n, \, Z)]=\mathbb{E}[f(X,\,Z)] $$ para cualquier función continua acotada medible $f:\mathbb{R}^{N+1}\to\mathbb{R}$ .

Entonces toma como particular $Z := W$ . Entonces usted debe tener que $$ (Y_n)\stackrel{\text{st}}{\longrightarrow}(Y). $$ ya que se puede ver $f(Y_n,W)\,W$ para cualquier $f$ C.B. como particular $f_1(Y_n,W)$ C.B. en el supuesto de $W$ .

Además $$ (Y_n,Z)\stackrel{\text{st}}{\longrightarrow}(Y,Z). $$ debe desprenderse de $$ (Y_n)\stackrel{\text{st}}{\longrightarrow}(Y). $$ aplicando el teorema de convergencia acotada.

¿Es correcto?

Answer 2

$\def\dto{\xrightarrow{\mathrm{d}}}\def\stto{\xrightarrow{\mathrm{st}}}\def\mto{\xrightarrow{\mathrm{m}}}$$ (3) Flecha derecha (2)$: Trivial.

$(2) \Rightarrow (1)$ : Para cualquier $g \in C_b(\mathbb{R}^N)$ y limitado $\mathscr{F}$ -medible $W$ Supongamos $|W| \leqslant M$ . Toma \begin{align*} f: \mathbb{R}^N × \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R},\\ (y, z) &\longmapsto g(y) · \frac{1}{2} (|z + M| - |z - M|). \end{align*} Porque $(Y_n, W) \dto (Y, W)$ y $f \in C_b(\mathbb{R}^{N + 1})$ entonces $$ E(g(Y_n) W) = E(f(Y_n, W)) \to E(f(Y, W)) = E(g(Y) W). \quad n \to \infty $$ Por lo tanto, $Y_n \stto Y$ .

$(1) \Rightarrow (3)$ : Supongamos que $Z$ y $W$ son $\mathscr{F}$ -medibles y $W$ está acotada. En primer lugar, para cualquier $A \in \mathscr{B}(\mathbb{R}^N)$ y $B \in \mathscr{B}(\mathbb{R})$ existe $\{g_k\} \subseteq C_b(\mathbb{R}^N)$ tal que $g_k \mto I_A$ es decir $$ m(\{ x \in \mathbb{R}^N \mid g_k(x) \neq I_A(x)\}) \to 0. \quad k \to \infty $$ Para cualquier $k \geqslant 1$ porque $Y_n \stto Y$ y $I_B(Z) W$ es $\mathscr{F}$ -medible y acotada, entonces $$ E(g_k(Y_n) I_B(Z) W) \to E(g_k(Y) I_B(Z) W). \quad n \to \infty $$ Tenga en cuenta que $g_k \mto I_A$ y $I_B(Z) W$ está acotada, por lo que $$ E(I_A(Y_n) I_B(Z) W) \to E(I_A(Y) I_B(Z) W). \quad n \to \infty \tag{1} $$

Ahora, para cualquier $C \in \mathscr{B}(\mathbb{R}^{N + 1})$ existe $\{A_{k, j}\} \subseteq \mathscr{B}(\mathbb{R}^N)$ y $\{B_{k, j}\} \subseteq \mathscr{B}(\mathbb{R})$ tal que $\{h_k\}$ definido por \begin{align*} h_k : \mathbb{R}^N × \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R},\\ (y, z) &\longmapsto \sum_{j = 1}^{s_k} I_{A_{k, j}}(y) I_{B_{j, k}}(z) \end{align*} satisface $h_k \mto I_C$ . Para cualquier $k \geqslant 1$ de (1) se deduce $$ E(h_k(Y_n, Z) W) \to E(h_k(Y, Z) W). \quad n \to \infty $$ Porque $h_k \mto I_C$ y $W$ está acotada, entonces $$ E(I_C(Y_n, Z) W) \to E(I_C(Y, Z) W). \quad n \to \infty \tag{2} $$

Ahora, para cualquier $f \in C_b(\mathbb{R}^{N + 1})$ existe una secuencia de funciones simples $\{f_k\}$ tal que $f_k \rightrightarrows f$ . Para cualquier $k \geqslant 1$ de (2) se deduce $$ E(f_k(Y_n, Z) W) \to E(f_k(Y, Z) W). \quad n \to \infty $$ Porque $f_k \rightrightarrows f$ y $W$ está acotada, entonces $$ E(f(Y_n, Z) W) \to E(f(Y, Z) W). \quad n \to \infty $$ Por lo tanto, $(Y_n, Z) \stto (Y, Z)$ .