¿Por qué es $|f|_{L^p}\le|f|^{\frac 1p}_{L^1}|f|^{\frac 1q}_{L^{\infty}}$ o, en general, $|f|_{L^p}\le|f|^{\frac 1p}_{L^{p'}}|f|^{\frac 1q}_{L^{q'}}$

Question

¿Por qué es $|f|_{L^p}\le|f|^{\frac 1p}_{L^1}|f|^{\frac 1q}_{L^{\infty}}$ o, en general, Es cierto que si $f\in L^p$ $|f|_{L^p}\le|f|^{\frac 1p}_{L^{p'}}|f|^{\frac 1q}_{L^{q'}}$ donde $\frac 1p+\frac 1q=\frac1{p'}+\frac1{q'}=1$

He visto un caso especial en el que este tiene, es decir, por $p'=1, q'=\infty$ tal vez se sostiene también para algunos valores intermedios (yo también no sé por qué se mantiene para el caso mencionado)

¿La generalización de Hölder la desigualdad (Interpolación) aquí implica esto tal vez ?

Así que creo que el $\theta_1=\frac 1p,\theta_2=\frac{p-1}{p}$$p_1=1,p_2=\infty$, entonces la fórmula se mantiene ?

Answer 1

Suponga que se considera la medida que el espacio es finito. El quería que la desigualdad lee $$|f|_{L^p}\leqslant\left(|f|_{L^{p'}} \right)^{1/p}|f|^{\frac{p-1}p}_{L^{q'}} $$ para cualquier $p$ $p',q'$ tal que $1/p'+1/q'=1$. Dejando $p$ va al infinito, tenemos $\lim_{p\to +\infty}|f|_{L^p}=|f|_{L^\infty} $ por lo tanto $|f|_{L^\infty}\leqslant |f|_{L^{q'}}$. Por lo tanto, el quería que la desigualdad no puede ser cierto para cualquier $p$ $q$.

También podemos considerar el caso en que $f$ es el indicador de la función de un conjunto medible $A$. Si $a$ es la medida de este conjunto, entonces debemos tener $$a^{\dfrac 1p}\leqslant a^{\dfrac 1{pp'} +\dfrac 1{qq'}} ,$$ es decir, $$a^{\dfrac{1}{q'}\left(1-\frac 2q \right)} \leqslant 1.$$ Si $2\lt q\lt \infty$, elija $A$ de medida mayor que $1$. Tenemos también un contra-ejemplo para $q\lt 2$.