Encuentra la probabilidad de que A,B,C estén conectadas

Question

Me dieron el siguiente problema como tarea:

Denota con $S$ el balón con centro $O$ . Tres puntos $A, B$ y $C$ se eligen al azar en su superficie, sus posiciones son independientes y cada distribuidos uniformemente en la superficie. Los puntos A y B pueden conectarse si el ángulo $AOB<\pi/2$ . ¿Cuál es la probabilidad de que puedan estar conectados (con, por ejemplo, $A$ conectando con $B$ a través de $C$ si es necesario)?

Mi profesor me dio la respuesta como una pista: $(\pi+2)/(4\pi)$ .

Lo pensé de la siguiente manera. Dejemos que $r$ denota la línea que pasa por el centro $O$ que intersectará la bola en un punto, llámalo $A$ . Ahora, toma un plano perpendicular a $r$ y hacerla pasar por $O$ . El plano divide la esfera en $2$ hemisferios, uno que contiene el punto $A$ y otra que no. Si $B$ se coloca en el hemisferio que contiene $A$ entonces $AOB<\pi/2$ y para que puedan conectarse. Si no, no pueden. Así que la probabilidad de $A$ conectando con $B$ es equivalente a la probabilidad de que $B$ cae en uno de los dos hemisferios que contiene $A$ que es $1/2$ . (La idea de este razonamiento es mantener $A$ fijo y lo puse en el "centro" de la superficie del hemisferio). Ahora me queda calcular la probabilidad de que $B$ se coloca en el otro hemisferio para que $A$ debe conectarse con $B$ a través de $C$ . Que es de nuevo $1/2$ ? ¿Qué hay de malo en este razonamiento? ¿Y cómo se podría resolver este problema?

Answer 1

Asumimos arbitrariamente $S$ es la esfera unitaria, $O$ es el origen, $A=(1,0,0)$ y $B$ se encuentra en la parte superior $xy$ -plano; esto siempre se puede hacer mediante una rotación adecuada y $x=\angle AOB$ tiene pdf $\frac12\sin x$ para $x\in[0,\pi]$ . Mirando la esfera en el $z$ -El eje da entonces dos casos, dependiendo de la comparación entre $x$ y $\pi/2$ :

• Si $x<\pi/2$ entonces $A$ y $B$ están conectados. $C$ entonces sólo tiene que estar en cualquiera de los hemisferios definidos por $A$ y $B$ la probabilidad de que esto ocurra es la proporción del disco cubierta por los dos hemisferios en la vista de arriba hacia abajo. El ángulo cubierto por cualquiera de los hemisferios es $\pi+x$ .

• Si $x>\pi/2$ entonces $A$ y $B$ no están conectados, por lo que $C$ debe estar en sus dos hemisferios. En la vista descendente, el ángulo cubierto por ambos hemisferios es $\pi-x$ .

Así tenemos la probabilidad final de que $A,B,C$ están conectados como $$\int_0^{\pi/2}\frac12\left(\frac{\pi+x}{2\pi}\right)\sin x\,dx+\int_{\pi/2}^\pi\frac12\left(\frac{\pi-x}{2\pi}\right)\sin x\,dx$$ $$=\frac1{4\pi}\left(\int_0^{\pi/2}(\pi+x)\sin x\,dx+\int_{\pi/2}^\pi(\pi-x)\sin x\,dx\right)$$ $$=\frac1{4\pi}\left(\int_0^{\pi/2}(\pi+x)\sin x\,dx+\int_0^{\pi/2}x\sin x\,dx\right)$$ $$=\frac1{4\pi}\left(\pi\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx+2\int_0^{\pi/2}x\sin x\,dx\right)$$ $$=\frac1{4\pi}\left(\pi+2\left([-x\cos x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}-\cos x\,dx\right)\right)$$ $$=\frac1{4\pi}\left(\pi+2[\sin x]_0^{\pi/2}\right)=\frac{\pi+2}{4\pi}$$