¿Los pares de divisores cero en anillos reducidos provienen siempre de dos ideales primos mínimos distintos?

Question

Dejemos que $S$ sea una reducida, noetheriana $k$ -Álgebra ( $k$ un campo) con ideales primos mínimos $P_1,\ldots,P_r$ . Si $a \in P_1$ , $a \neq 0$ .

¿Existe $b \in P_i$ , $b \neq 0$ con $i \neq 1$ tal que $ab = 0$ .

Cuando trato de encontrar ejemplos en geometría, siempre me salen anillos de coordenadas de curvas planas afines $k[T]/f(T)$ donde $T := T_1,\ldots,T_n$ y $f(T) \in k[T]$ es reducible en factores distintos. Entonces lo anterior debería ser válido.

Pero no tengo ni idea de si esto se generaliza. Si no es así, me gustaría ver un ejemplo. Gracias de antemano.

Answer 1

Encontré la respuesta en este documento El espectro primo mínimo de un anillo reducido como la Proposición 1.2. declaración 1.

Dejemos que $P := P_i$ sea un primo mínimo de $S$ . Se deduce directamente del hecho de que $S_{P}$ es el campo cociente de $S/P$ . Para cada $a \in P$ tenemos $a/1 = 0$ en $S_{P}$ y por lo tanto, por definición, hay algún $b \notin P$ tal que $ab = 0$ . Desde $S$ se redujo, deducimos que $b \in P_i$ para algunos $i \neq 1$ .