$2\sum_{i=1}^{n}(t_{i,n} - t_{i-1,n})^2 \ \leq\ 2\max(t_{i,n} - t_{i-1,n}) \sum_{i=1}^{n}(t_{i,n} - t_{i-1,n})$?

Question

Estoy leyendo el libro de McCabe y Tremayne "Elementos de la moderna teoría asintótica con aplicaciones estadísticas" y en el Capítulo 8 sobre el movimiento Browniano me encontré con esto la desigualdad:

$$2\sum_{i=1}^{n}(t_{i,n} - t_{i-1,n})^2 \ \leq\ 2\max(t_{i,n} - t_{i-1,n}) \sum_{i=1}^{n}(t_{i,n} - t_{i-1,n}).$$

En un contexto estadístico, $(t_{i,n} - t_{i-1,n})$ es la variación de incremento de $W(t_{i,n})-W(t_{i-1,n})$ de un movimiento Browniano. Pero en un sentido matemático, en mi humilde opinión, puede ser visto como una distancia. En resumen, se dice que la suma de los cuadrados de las distancias es menor que, o igual a, la distancia máxima veces la suma de esas distancias.

Mi pregunta es, ¿qué es esto de la desigualdad y por qué? He intentado buscar en Google, pero no encontré nada (probablemente porque no sé su nombre). También he intentado conectar los números y de hecho tiene, pero me cuesta entender por qué.

Answer 1

Suponga que tiene un conjunto finito de números positivos $a$, $b$, $c$, $\ldots$, $z$. Tome el máximo de todos ellos y llamar a $M$. Usted acepta que $M$ es mayor que o igual a cualquier número de su conjunto: $M \ge a$, $M \ge b$, $M \ge c$, y así sucesivamente. Puesto que cada número es positivo, usted puede multiplicar cada ecuación por el lado derecho sin que afecte a: $Ma \ge a^2$, $Mb \ge b^2$, $Mc \ge c^2$, y así sucesivamente. Luego suma todos los de izquierda y derecha lados de estas desigualdades: $$M(a+b+c+\ldots+z) \ge (a^2+b^2+c^2+\ldots+z^2).$$ Que es su desigualdad a la derecha allí.

Answer 2

Sea <span class="math-container">$x_1,x_2,...xn$</span> algunos reales positivos. También dejó entonces <span class="math-container">$x^*=\max{i=1,..,n}{xi}$</span> : enchufe ahora <span class="math-container">$$\sum{i=1}^{n}x^2i\leq\sum{i=1}^{n}x^x_i= x^\sum_{i=1}^{n}x_i$ $</span> <span class="math-container">$xi=(t{i,n}-t_{i-1,n})$</span>