Si $a=b+c$ probar que $S=a^4+b^4+c^4$ es dos veces el cuadrado de un número entero positivo

Question

Si $a=b+c$, e $a$,$b$,$c\in \Bbb N$, demuestran que, a $S=a^4+b^4+c^4$ es el doble del cuadrado de un número entero positivo.

Fuente: muestra una lista de problemas utilizados en la preparación para concursos de matemáticas.

Mi intento:

Haciendo la sustitución de $a=b+c$ en $S$ y en el desarrollo de $(b+c)^4$, es fácil mostrar que $$S=2(b^4+c^4+bc(2b^2+3bc+2c^2))$$ una expresión con la forma $S=2K$. El problema ahora es cómo probar que K es un cuadrado de un entero positivo. También trató de utilizar Identidades de Newton, pero no hubo suerte (Nota: más tarde, después de una sugerencia, he encontrado una manera de resolver el uso de este enfoque, véase más abajo).

Consejos y respuestas son bienvenidas. Lo siento si esto es una dup.

Answer 1

<span class="math-container">$$K=(b^2+bc+c^2)^2$$</span> Usted puede encontrar después de notarlo debe tener dos términos cuadrados.

Answer 2

Teniendo en cuenta la sugerencia de @didgogns, encontré una manera utilizando identidades de Newton. Utilizando la notación <span class="math-container">$s_k=b^k+c^k$</span>y <span class="math-container">$\sigma_1=b+c$</span> <span class="math-container">$\sigma_2=bc$</span> sostiene que

<span class="math-container">$$S=\sigma_1^4 + s_4$$</span>

pero como <span class="math-container">$s_4=\sigma_1^4-4\sigma_2\sigma_1^2+2\sigma_2^2$</span> (identidad de Newton),

<span class="math-container">$$S=2\sigma_1^4-4\sigma_2\sigma_1^2+2\sigma_2^2=2(\sigma_1^4-2\sigma_2\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ $</span> o <span class="math-container">$$S=2(\sigma_1^2-\sigma_2)^2,$ $</span> como sea necesario.

Answer 3

<span class="math-container">$(b+c)^4=b^4+4b^3c+6b^2c^2+4bc^3+c^4=(b^4+c^4)+4bc(b^2+c^2)+6b^2c^2=>$</span> <span class="math-container">S $$ = un ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 = un ^ 4 + un ^ 4-4bc(b^2+c^2)-6b ^ 2 c ^ 2 = 2a ^ 4bc(b+c) 4 ^ 2 +2b ^ 2 c ^ 2 = 2a ^ 4bca 4 ^ 2 +2b ^ 2 c ^ 2 = 2(a^4-2bca^2+b^2c^2) = 2(a^2-bc) ^ 2 $$</span> <span class="math-container">$=>S=2(a^2-bc)^2$</span> <span class="math-container">Q.E.D $$ $$</span>

Answer 4

Tenemos:

<span class="math-container">$$S=(b+c)^4+b^4+c^4=2b^4+4b^3c+6b^2c^2+4bc^3+2c^4$$</span> <span class="math-container">$$=2(b^4+2b^3c+3b^2c^2+2bc^3+c^4)=2 (b^2+bc+c^2)^2$$</span>