Por qué la función $f: \emptyset \rightarrow \emptyset$ ¿Existe? $0^0 = 1$

Question

Si $f: \emptyset \rightarrow \emptyset$ Es decir:

1. $\forall a \in \emptyset \Rightarrow \exists b\in \emptyset, (a,b)\in \emptyset \times \emptyset$ . ¿Pero cómo podemos decir que para un elemento inexistente existe otro elemento inexistente?
2. $\forall (a_1,b_1),(a_2,b_2) \in {\emptyset}^2$ , ya sea $a_1 \neq a_2$ o $b_1 \neq b_2$ . Pero si el elemento no existe, podemos decir, que $\neg(a_1 \neq a_2$ o $b_1 \neq b_2)$ también es cierto, ¿no? Y esto nos está diciendo, que esto es $f$ es una función y no una función en un momento, ¿no?
3. El subconjunto de $\emptyset \subset \emptyset \times \emptyset $ existen y el $G_f = \emptyset$

Así que si esta función existe $\Rightarrow$ que esta función es una sola, porque $G_f = \emptyset$ y $\emptyset$ es una sola en la Teoría de Conjuntos, ¿sí? Y porque en el conjunto de potencia de $\emptyset$ existe sólo un elemento -- $\{\emptyset\} = 2^0$ .

Así que, después de esto podemos decir, que $0^0 = 1$ ¿Si? Así para todos los números en $\mathbb{R}$ será cierto, que $r^0 = 1$ porque para todos los elementos de la familia $\{X_{\alpha}\}$ de los conjuntos con $r$ -poder : $\forall X\in \{X_{\alpha}\} \Rightarrow |X| = r$ sólo existe una función $f_r: \emptyset \rightarrow X$ . Pero, ¿por qué esta función sólo una? ¿Cómo puede existir el elemento en $\emptyset \times X$ ?

Y por qué la función $f_{\emptyset} : X\rightarrow \emptyset$ ¿no existe? El subconjunto de $G_{f_r}\subset \emptyset\times X$ existen pero el subconjunto de $G_{f_{\emptyset}}\subset X\times \emptyset$ ¿No existe? Lo sé, eso $0^r$ toujours $= 0$ pero no puede entenderlo en esta situación

Answer 1

Una función $f:X\to Y$ es un subconjunto de $X\times Y$ cumpliendo con ciertas propiedades. Por ejemplo, para cada $x\in X$ debe haber un elemento en $f$ que tiene ese $x$ como su primer componente.

En el caso $X\to\varnothing$ con $X$ no vacía, no puede conseguirlo. Por lo tanto, no existen tales funciones. Para $\varnothing\to Y$ para cualquier $Y$ Por otra parte, el requisito anterior es una verdad vacía.

Y sí, $0^0=1$ tiene mucho sentido. Especialmente en un escenario de combinatoria como este.

Answer 2

Cuando dices $\forall a \in \emptyset$ esto solo es una afirmación falsa que veo, porque un conjunto vacío no tiene ningún elemento; y si se parte de una afirmación falsa cualquier cosa que se implique de esta afirmación será verdadera, es decir, cuando la razón misma es falsa, entonces cualquier resultado será verdadero