Límite de la secuencia de $1+\frac{\cos n}{n!}$

Question

$$\lim_{n\to\infty}1+\frac{\cos n}{n!}$$ ¿Cómo puedo encontrar el límite de la esta usando el teorema del sándwich?

Tengo que: \begin{align*}-1\le{ }&\cos {n} \le 1\\ 0\le { }&1+\cos {n}\le 2\\ \frac{0}{n!}\le { }& \frac{1+\cos {n}}{n!} \le \frac{2}{n!} \end{align*}

pero $\frac{1+\cos {n}}{n!} \neq 1+ \frac{\cos {n}}{n!}$

¿Cómo puedo ir?

Answer 1

Simplemente tenemos $$-\frac1{n!}\le\frac{\cos n}{n!}\le\frac1{n!}$$ $$1-\frac1{n!}\le1+\frac{\cos n}{n!}\le1+\frac1{n!}$$ y tanto en el exterior de las funciones tienen un límite de 1 como $n\to\infty$, por lo que por el teorema del encaje el límite de la función original es 1.

Answer 2

Usted necesita para hacer las transformaciones en el orden en que se producen que el resultado deseado. Así, la primera división con $n!$ y, a continuación, agregue $1$: \begin{align*} -1&\le \cos{n}\le 1 &\mid :n! \\[0.2cm] -\frac{1}{n!}&\le \frac{\cos{n}}{n!}\le \frac1{n!} &\mid +1\\[0.2cm] 1-\frac{1}{n!}&\le 1+\frac{\cos{n}}{n!}\le 1+\frac1{n!} \end{align*}